Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp ( O, R ). M là trung điểm của AC. G là trọng tâm tam giác ABM . CMR : OG vuông góc với BM

1 bình luận về “Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp ( O, R ). M là trung điểm của AC. G là trọng tâm tam giác ABM . CMR : OG vuông góc với BM”

1. Gọi; M là trung điểm của AC;  G là trọng tâm của tam giác ABC. Nối E với G; O với D

   +) Vì G là trong tâm của tam giác ABC => MG = 1/3​MB => MG/ MB = 1/3​

   E là trong tâm của tam giác ACD => ME = 1/3​ MD => ME/ MD = 1/3​

   Tam giác DMB có MG/ MB = ME/MD (= 1/3​) => EG // AB (Định lí Ta lét)

   Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => O là giao của 3 đường trung trực => OD là đường trung trực của AB => OD vuông góc với AB 

   => EG vuông góc với OD (1)

   +) Tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên đông thời là đường trung tuyến

   Mà AG cũng là đường trung tuyến (Vì G là trọng tâm tam giác) => AO trùng với AG => A; O; G thẳng hàng

   Mặt khác AO vuông góc với BC ( vì AO là đường trung trực của đoạn BC)

   DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC) 

   => AO vuông góc với BC => OG vuông góc với BC   (2)

   Từ (1)(2) ta có: OD; OG là hai đường cao của tam giác DEG mà OD cắt OG = O => O là trực tâm của tam giác DEG 
   => OE vuông góc với DG 

   Hay OE vuông góc với DC.

                                                                   lmaowa

   Trả lời