Cho `a,b,c>0` và `a+b+c=3`. cmr: ` sum_(cyc)a/((b+c)(c+a))>=3/4`

1 bình luận về “Cho `a,b,c>0` và `a+b+c=3`. cmr: ` sum_(cyc)a/((b+c)(c+a))>=3/4`”

1. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   Đặt $: x = a + b; y = b + c; z = c + a$

   $ ⇒ x + y + z = 2(a + b + c) = 6$

   $ ⇒ a = \dfrac{x – y + z}{2}$

   $ b = \dfrac{x + y – z}{2}; c = \dfrac{- x + y + z}{2} $

   Áp dụng cô si cho 3 số:

   $ \sqrt[3]{xyz} ≤ \dfrac{x + y + z}{3} = 2$

   $ ⇒∑\dfrac{a}{(b + c)(c + a)} $

   $ = \dfrac{x – y + z}{2yz} + \dfrac{x + y – z}{2zx} + \dfrac{- x + y + z}{2xy}$

   $ = \dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{yz} + \dfrac{y}{zx} + \dfrac{z}{xy})$

   $ ≥ \dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{x}{yz}.\dfrac{y}{zx}.\dfrac{z}{xy}}$

   $ = \dfrac{3}{2\sqrt[3]{xyz}} ≥ \dfrac{3}{4} (đpcm)$
   

   Dấu $” ⇔ ” x = y = z = 2 ⇔ a = b = c = 1$

    

   Trả lời