trong đó $n_1$ và $n_2$ là hai số nguyên không âm thoả mãn $n_1 + n_2 = 6$ và $n_1 + 2n_2 = k$. Tức là, $n_1$ là số lượng nhân $3x$ trong biểu thức $x^k$ và $n_2$ là số lượng nhân $\frac{-2}{x^2}$ trong biểu thức $x^k$.
Ta nhận thấy rằng $x^k$ không chứa $x$ nếu và chỉ nếu $k$ là một số chẵn. Với $k$ lẻ, $x^k$ chứa một lần $x$. Do đó, $a_k$ không chứa $x$ nếu và chỉ nếu $k$ là một số chẵn và $n_2$ là một số chẵn, tức là tổng $n_1 + n_2$ phải là một số lẻ.
Nếu $k$ là một số chẵn, ta phải xác định giá trị nhỏ nhất của $n_2$ để $n_1 + n_2$ là một số lẻ. Nếu $k$ lẻ, ta không cần phải tính toán vì không có bất kỳ bộ $(n_1, n_2)$ nào thỏa mãn điều kiện $n_1 + n_2$ lẻ.
Ví dụ, để tìm hạng không chứa $x^3$, ta xét $k=3$ và phải tìm số nguyên không âm $n_1$ và $n_2$ thoả mãn $n_1 + n_2 = 6$ và $n_1 + 2n_2 = 3$. Từ hệ này, ta suy ra $n_1 = 3$ và $n_2 = 0$. Vậy, hạng không chứa $x^3$ là:
Ta dùng công thức tổng quát của khai triển Newton để tính hệ số $a_k$ của $x^k$ như sau:
$$
a_k = \binom{6}{n_1, n_2} (3x)^{n_1}\left(\frac{-2}{x^2}\right)^{n_2}
$$
trong đó $n_1$ và $n_2$ là hai số nguyên không âm thoả mãn $n_1 + n_2 = 6$ và $n_1 + 2n_2 = k$. Tức là, $n_1$ là số lượng nhân $3x$ trong biểu thức $x^k$ và $n_2$ là số lượng nhân $\frac{-2}{x^2}$ trong biểu thức $x^k$.
Ta nhận thấy rằng $x^k$ không chứa $x$ nếu và chỉ nếu $k$ là một số chẵn. Với $k$ lẻ, $x^k$ chứa một lần $x$. Do đó, $a_k$ không chứa $x$ nếu và chỉ nếu $k$ là một số chẵn và $n_2$ là một số chẵn, tức là tổng $n_1 + n_2$ phải là một số lẻ.
Nếu $k$ là một số chẵn, ta phải xác định giá trị nhỏ nhất của $n_2$ để $n_1 + n_2$ là một số lẻ. Nếu $k$ lẻ, ta không cần phải tính toán vì không có bất kỳ bộ $(n_1, n_2)$ nào thỏa mãn điều kiện $n_1 + n_2$ lẻ.
Ví dụ, để tìm hạng không chứa $x^3$, ta xét $k=3$ và phải tìm số nguyên không âm $n_1$ và $n_2$ thoả mãn $n_1 + n_2 = 6$ và $n_1 + 2n_2 = 3$. Từ hệ này, ta suy ra $n_1 = 3$ và $n_2 = 0$. Vậy, hạng không chứa $x^3$ là:
$$
a_3 = \binom{6}{3, 0} (3x)^3\left(\frac{-2}{x^2}\right)^0 = 20\times 27 = 540
$$
Chúng ta có thể áp dụng quy tắc này để tìm các hạng không chứa $x$ hoặc $x^2$ trong khai triển này.