Cho tam giác nhọn ABC có trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DB = DM . trên tia đối của tia EC lấy Điểm N sao cho EN=EC . c/m rằng:
a) tâm giác ADM= tam giác CDB và 3 điểm M,A,N thẳng hàng
b)BM+CN>3BC
C) các đg thẳng AG,NB,MC đồng quy.
Do đó, ta có tam giác ADM = tam giác CDB và 3 điểm M, A, N thẳng hàng.
BM + MC > BC
CN + NB > NC
Tổng hai vế của hai bất đẳng thức trên:
BM + CN + MC + NB > BC + NC
Do tam giác ABC nội tiếp nên BC là đường chéo của tứ giác ABDC. Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác BDC:
BD + DC > BC
Vì BD = CD nên BD + DC = 2BD
Tổng hai vế của hai bất đẳng thức trên:
2BD + BM + CN + MC + NB > BC + NC + BC
2BD + BM + CN + MC + NB > 2BC + NC
Do AM = DM nên tam giác ADM cân tại A và có AM là đường trung bình nên AM < AD. Tương tự, ta có CN < CE.
Vậy:
BM + CN + MC + NB > 2BC + NC > 2BC + CE > 2BC
Do đó, BM + CN > BC.
Do đó, ta có:
$\frac{AG}{GD}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{CE}{DE}=\frac{CN}{DN}$
Vậy, đường thẳng AG, NB, MC đồng quy.
Vậy tam giác ADM và tam giác CDB đồng dạng và 3 điểm M, A, N thẳng hàng.
b) Áp dụng định lý tam giác trong tam giác BGC, ta có BM + CN > BC.
c) Ta có thể sử dụng định lí Ceva để chứng minh rằng các đường thẳng AG, NB, MC đồng quy. Tức là ta cần chứng minh:
$$\frac{AM}{MB}.\frac{BN}{NC}.\frac{CG}{GA}=1$$
Vì AM = MC, ta có $\frac{AM}{MB} = \frac{MC}{MB} = \frac{GC}{GB}$. Tương tự, $\frac{BN}{NC} = \frac{GB}{GA}$ và $\frac{CG}{GA} = \frac{BC}{BA}$. Thay vào công thức trên, ta được:
$$\frac{AM}{MB}.\frac{BN}{NC}.\frac{CG}{GA}=\frac{GC}{GB}.\frac{GB}{GA}.\frac{BC}{BA}=1$$
Vậy ta chứng minh được các đường thẳng AG, NB, MC đồng quy.
20:35