Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm P, Q sao cho AP=AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O

1 bình luận về “Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm P, Q sao cho AP=AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O”

1. 1. a) Ta có AP=AQ, AB=AC nên tam giác APB và AQC đồng dạng. Khi đó, ta có:
      $\angle{AQC}=\angle{APB}$
      Do đó, ta có:
      $\angle{OBC}=\angle{AQC}=\angle{APB}=\angle{OCB}$
      Vậy tam giác OBC là tam giác cân.
      b) Ta có:
      $\angle{OAB}=\angle{OAC}=\angle{AQC}=\angle{APB}$
      Do đó, tức là tam giác AOB đồng dạng với tam giác APB. Khi đó, ta có:
      $\frac{AO}{AP}=\frac{AB}{AP}=2$
      Tương tự, ta có:
      $\frac{AO}{AQ}=\frac{AC}{AQ}=2$
      Vậy, ta có AO cách đều AB và AC.
      Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc BAC:
      Ta có:
      $\angle{OAB}=\angle{OAC}$
      Do đó, ta có:
      $\angle{BAO}+\angle{OAB}=\angle{CAO}+\angle{OAC}$
      Tương đương với:
      $\angle{BAC}+\angle{BAO}=\angle{CAB}+\angle{CAO}$
      Khi đó, ta có:
      $\angle{BAO}=\angle{CAO}$
      Vậy, AO là tia phân giác của góc BAC.
      c) Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh rằng AO đi qua M và vuông góc với BC.
      Ta có:
      $\frac{BM}{AB}=\frac{1}{2}$
      Tương tự, ta có:
      $\frac{CM}{AC}=\frac{1}{2}$
      Do đó, ta có:
      $\frac{BM}{AB}=\frac{CM}{AC}$
      Khi đó, ta có AM song song với BC. Do đó, ta có:
      $\angle{BAM}=\angle{CAB}$
      Vậy, ta có:
      $\angle{BAM}+\angle{CAM}=\angle{BAC}=180^\circ$
      Khi đó, ta có:
      $\angle{MAO}=90^\circ$
      Vậy, AO đi qua trung điểm của BC và vuông góc với nó.

      20:24

   Trả lời