Cho tam giác ABC cân tại A ,trung tuyến AM.Qua điểm B và vẽ đường thắngong song với đường thẳng AC cắt đường thẳng AM tại D
1) CM M là trung điểm của AD và tam giác ABD cân
2)Gọi P là trung điểm AB, đoạn thẳng PD cắt đoạn thẳng BC tại điểm O.Gọi T là trung điểm BD.CM A,O,T THẲNG HÀNG
1) Ta có AM là trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của BD. Khi đó, ta có:
– AD // BE do ABED là hình bình hành
– AD = BE do tam giác ABD cân
Vậy ta có tam giác ABE cân tại A và có trung tuyến AM. Do đó, EM là đường trung trực của AB và kết hợp với AM, ta có AEM thẳng hàng.
2) Gọi P là trung điểm của AB. Ta có:
– BP // AD (cùng vuông góc với AC)
– BP = AD (điểm P là trung điểm của AB)
Vậy tam giác ABP đồng dạng với tam giác DAC. Khi đó, ta có:
– PD // AC
– PD = AC/2 (điểm P là trung điểm của AB)
Gọi O là giao điểm của PD và BC. Khi đó, ta có BO = OC do đường thẳng PD chia BC thành hai đoạn bằng nhau. Vì BP // AD nên tam giác ABD và tam giác BPB đồng dạng. Vậy ta có:
– $\frac{OD}{DC} = \frac{PB}{AB} = \frac{1}{2}$
Do đó, ta có OT // AB (với T là trung điểm của BD) và OT = AB/2 = PD. Kết hợp với PT // BD và PT = BD/2 = OE, ta có tam giác OPT đồng dạng với tam giác AEB. Khi đó, ta có AE // OT (vì AEM thẳng hàng) và OT = AE (vì tam giác AEB và tam giác OPT đồng dạng), suy ra tam giác AOT cân tại A và có trung tuyến OM.
Vậy ta có a, o, t thẳng hàng.