Cho ba số thực dương `a, b, c` thỏa mãn `a + b + c = 1.` Chứng minh: `(a + 1)(b + 1)(c + 1) >= 64abc`

1 bình luận về “Cho ba số thực dương `a, b, c` thỏa mãn `a + b + c = 1.` Chứng minh: `(a + 1)(b + 1)(c + 1) >= 64abc`”

1. (a+1)(b+1)(c+1)=abc(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)

   =abc(a/a+(a+b+c)/a)(b/b+(a+b+c)/b)(c/c+(a+b+c)/c)

   =abc((a+c)/a+(b+c)/a)((b+c)/b+(b+a)/b)((c+a)/c+(c+b)/c)

   >=8abc\sqrt{(a+c)/a . (b+c)/a . (b+c)/b . (b+a)/b  .(c+a)/c . (c+b)/c}

   =8abc\sqrt{([(a+b)(b+c)(c+a)]^2)/((abc)^2)}

   =8abc . ((a+b)(b+c)(c+a))/(abc)

   >=8abc . (8\sqrt{a.b.b.c.c.a})/(abc)

   =8abc . (8abc)/(abc)=8abc.8=64abc

   Dấu “=” xảy ra <=>a=b=c=1/3 

    

   Trả lời