Tìm GTNN, GTLN `y=|sinx-cos2x|` trên `R`

1 bình luận về “Tìm GTNN, GTLN `y=|sinx-cos2x|` trên `R`”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Công thức: cos2x=1-2 sin^2 x

   _________________________________

   Ta có: y=|sin x-cos2x| (TXĐ: D=RR) =|sin x-(1-2sin^2 x)| =|2sin^2 x+sin x-1| =2|sin^2 x+2 . sin .1/ 4 +1/ {16}-9/{16}| =2|(sin x+1/ 4)^2-9/{16}| \forall x\in RR ta có: \qquad -1 \le sin x\le 1 => -1+1/ 4\le sin x+1/ 4\le 1+1/ 4 => -3/ 4\le sin x+1/ 4\le 5/ 4 =>0\le |sin x+1/ 4|\le 5/ 4 =>0\le |sinx+1/ 4|^2=(sin x+1/ 4)^2\le {25}/{16} => -9/{16}\le (sin x+1/ 4)^2-9/{16}\le {25}/{16}-9/{16} => -9/{16}\le (sin x+1/ 4)^2-9/{16}\le 1 =>0\le |(sin x+1/ 4)^2-9/{16}|\le 1 =>0\le 2|(sin x+1/ 4)^2-9/{16}|\le 2 => 0\le y\le 2 $\\$ +) y_{max}=1 khi sin x=1<=>x=π/2+k2π\ (k\in ZZ) +) y_{min}= 0 khi (sinx+1/ 4)^2-9/{16}=0 <=>(sinx+1/ 4)^2=9/{16} <=> sinx+1/ 4=±3/ 4 <=>$\left[\begin{array}{l}sin x=\dfrac{1}{2}\\sin x=-1\end{array}\right.$ <=>$\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{π}{6}+k2π\\x=-\dfrac{π}{2}+k2π\end{array}\right.$ (k\in ZZ) Vậy: y_{max}=2⇔ x=π/2+k2π\ (k\in ZZ) y_{min}=0<=>x\in {π/6+k2π; -π/2+k2π|k\in ZZ}

   _____________________________________

   giải bằng cách đặt ẩn phụ, bảng biến thiên: Ta có: y=|sin x-cos2x| (TXĐ: D=RR) =|sin x-(1-2sin^2 x)| =|2sin^2 x+sin x-1| Đặt t=sin x\ (-1\le t\le 1) Đặt f(t)=2t^2+t-1 là hàm số bậc hai có: a=2;b=1;c=-1=> -b/{2a}=-1/ 4 Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|cr|} \hline t&-1&& -\dfrac{1}{4}&&1\\\hline f(t)=2t^2+t-1&0&&&&2\\&&\searrow &&\nearrow \\&&&\dfrac{-9}{8}&\\\hline\end{array} Từ bảng biến thiên ta có: \forall t\in [-1;1] thì -9/ 8\le f(t)\le 2 => 0\le |f(t)|\le 2 =>0\le y\le 2 +) y_{max}=2⇔ t=1⇔ sin x=1⇔ x=π/2+k2π\ (k\in ZZ) +) y_{min}=0<=>f(t)=0<=>2t^2+t-1=0 <=>$\left[\begin{array}{l}t=\dfrac{-1}{2}\\t=-1\end{array}\right.$ <=>$\left[\begin{array}{l}sin x=\dfrac{1}{2}\\sin x=-1\end{array}\right.$ <=>$\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{π}{6}+k2π\\x=-\dfrac{π}{2}+k2π\end{array}\right.$ (k\in ZZ) Vậy: y_{max}=2⇔ x=π/2+k2π\ (k\in ZZ) y_{min}=0<=>x\in {π/6+k2π; -π/2+k2π|k\in ZZ}

   __________________________________

   Tính chất hàm số bậc hai y=ax^2+bx+c Với a>0: Hàm số nghịch biến trên (-\infty;-b/{2a}) Hàm số đồng biến trên (-b/{2a};+\infty) Trong bài chỉ xét t\in [-1;1] nên lập bảng biến thiên ứng với t

   #Dl

   Trả lời