Cho tam giác nhọn ABC, 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ HP//AC, HQ//AB (P,Q trên AB,AC), gọi M là trung điểm BC, chứ

1 bình luận về “Cho tam giác nhọn ABC, 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ HP//AC, HQ//AB (P,Q trên AB,AC), gọi M là trung điểm BC, chứ”

1. Giải đáp:

   $HM\,\bot\,PQ$.

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $HM$.

   Đường thẳng này cắt $AB,AC$ ở $K,N$.

   Lấy điểm $G$ đối xứng với $B$ qua $H$.

   Xét $\Delta BCG$ ta có:

   $M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

   $H$ là trung điểm của $BG$ ($G$ đối xứng với $B$ qua $H$).

   $\Rightarrow HM$ là đường trung bình của $\Delta BCG$.

   $\Rightarrow HM//CG$ mà $MH\,\bot\,HN$ (điều kiện bổ sung).

   $\Rightarrow CG\,\bot\,HN$ (từ vuông góc đến song song đảo).

   $\Rightarrow CG$ là đường cao của $\Delta HNC$.

   Có $BE\,\bot\,AC\Rightarrow HE\,\bot\,AC\Rightarrow HE\,\bot\,NC$

   $\Rightarrow HE$ là đường cao của $\Delta HNC$ mà $CG\cap HE=G$

   $\Rightarrow G$ là trực tâm của $\Delta HNC$

   $\Rightarrow GN$ là đường cao của $\Delta HNC\Rightarrow GN\,\bot\,HC$.

   Mà $AB\,\bot\,HC\Rightarrow BK\,\bot\,HC$ ($AB\equiv BK$).

   $\Rightarrow BK//BN$ (từ vuông góc đến song song).

   $\Rightarrow\widehat{HBK}=\widehat{HGN}$ (cặp góc so le trong).

   Xét $\Delta BHK$ và $\Delta HNG$ ta có:

   $\widehat{HBK}=\widehat{HGN}$ (chứng minh trên).

   $BH=HG$ ($G$ đối xứng $B$ qua $H$).

   $\widehat{BHK}=\widehat{GHN}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow\Delta BHK=\Delta HNG$ (góc-cạnh-góc).

   $\Rightarrow HK=HN$ (hai cạnh tương ứng).

   Ta có $HP//AC$ mà $Q\in AC\Rightarrow HP//AQ$.

   $HQ//AB$ mà $P\in AB\Rightarrow AP//HQ$.

   Xét tứ giác $APHQ$ ta có:

   $HP//AQ$ (chứng minh trên).

   $AP//HQ$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow APHQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

   Gọi $AH\cap PQ=O\Rightarrow O$ là trung điểm của $AH$.

   Xét $\Delta ANK$ ta có:

   $H$ là trung điểm của $NK$ ($HK=HN$).

   $HQ//AK$ ($HQ//AB,AB\equiv AK$).

   $\Rightarrow Q$ là trung điểm của $AN$.

   Xét $\Delta ANK$ ta có:

   $O$ là trung điểm của $AH$ (chứng minh trên).

   $Q$ là trung điểm của $AN$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow OQ$ là đường trung bình của $\Delta AHN$.

   $\Rightarrow OQ//HN\Rightarrow PQ//NK$ mà $HM\,\bot\,NK$.

   $\Rightarrow HM\,\bot\,PQ$ (từ vuông góc đến song song đảo).

   

   Trả lời