Cho tam ABC nhọn có các đường cao AI, BE, CF cắt nhau tại H. C/m: H là giao điểm các đường p/g của tam giác IEF

1 bình luận về “Cho tam ABC nhọn có các đường cao AI, BE, CF cắt nhau tại H. C/m: H là giao điểm các đường p/g của tam giác IEF”

1. Xét ΔABI và ΔCBF có:

   \hat{B} chung

   \hat{AIB}=\hat{CFB}=90^o

   =>ΔABI~ΔCBF(g-g)

   =>(AB)/(IB)=(BC)/(BF)

   Xét ΔBFI và ΔBCA có:

   \hat{B} chung

   (AB)/(IB)=(BC)/(BF)

   =>ΔBFI~ΔBCA(c-g-c)  =>\hat{BIF}=\hat{BAC} (1)

   Chứng minh tương tự ta được: ΔECI~ΔBCA(c-g-c)=>\hat{CIE}=\hat{BAC} (1)

   Từ (1), (2)=> \hat{BIF}=\hat{CIE}

   Ta có:

   \hat{BIF}+\hat{FIA}=90^o

   \hat{CIE}+\hat{EIA}=90^o

   Mà \hat{BIF}=\hat{CIE}(cmt)

   =>\hat{FIA}=\hat{EIA}

   =>IA là phân giác \hat{FIE}

   Xét ΔACF và ΔABE có:

   \hat{A} chung

   \hat{AFC}=\hat{AEB}=90^o

   =>ΔACF~ΔABE(g-g)

   =>(AF)/(AC)=(AE)/(AB)

   Xét ΔAEF và ΔABC có:

   \hat{A} chung

   (AF)/(AC)=(AE)/(AB)

   =>ΔAEF~ΔABC(c-g-c)  =>\hat{AFE}=\hat{ACB} (3)

   Vì ΔBFI~ΔBCA(cmt)=>\hat{BFI}=\hat{BCA} (4)

   Từ (3), (4)=> \hat{AFE}=\hat{BFI}

   Ta có:

   \hat{AFE}+\hat{EFC}=90^o

   \hat{BFI}+\hat{IFC}=90^o

   Mà \hat{AFE}=\hat{BFI}(cmt)

   =>\hat{ECF}=\hat{IFC}

   =>EC là phân giác \hat{EFI} 

   Mà IA cắt EC tại H =>H là giao điểm các đường phân giác của ΔIEF

   Chúc bạn học tốt!

   @phanthanh2508

    

   

   Trả lời