Cho `a,b > 0` thỏa mãn `a + b = 1`. Tìm GTNN của : `T = 19/{ab} + 6/{a^2 + b^2} + 2022(a^4 + b^4)`

2 bình luận về “Cho `a,b > 0` thỏa mãn `a + b = 1`. Tìm GTNN của : `T = 19/{ab} + 6/{a^2 + b^2} + 2022(a^4 + b^4)`”

1. T=19/(ab)+6/(a^2+b^2)+2022.(a^4+b^4)

   =16/(ab)+6/(a^2+b^2)+6/(2ab)+2022.(a^4+b^4)

   Áp dụng bất đẳng thức 1/(a)+1/(b)ge4/(a+b)

   6.(1/(a^2+b^2)+1/(2ab))ge(6.4)/(a^2+b^2+2ab)=24/(a+1)^2=24      (1)

   Áp dụng bất đẳng thức able(a+b)^2/4

   =>16/(ab)ge16/((a+b)^2/4)=64        (2)

   Áp dụng bất đẳng thức a^2+b^2ge(a+b)^2/2

   =>a^4+b^4ge((a^2+b^2)^2)/2=[(a+b)^2/2]^2/2=(1/2)^2/2=1/8 

   =>2022.(a^4+b^4)ge1011/4     (3)

   Cộng (1);(2);(3) ta được :

   =>Tge24+64+1011/4=1363/4

   Dấu “=” xảy ra khi :

   {(a+b=1),(a=b):}

   <=>a=b=1/2

   Vậy GTNN của T=2727/8 khi a=b=1/2

    

   Trả lời
2. Lời giải và giải thích chi tiết:

   T=19/(ab)+6/(a^2+b^2)+2022(a^4+b^4)
   Ta có:
   ab<=(a^2+b^2)/2
   ->T>=38/(a^2+b^2)+6/(a^2+b^2)+2022(a^4+b^4)
   T>=44/(a^2+b^2)+2022(a^4+b^4)
   T>=88/(2.(a^2+b^2))+2022[(a^2)^2/1+(b^2)^2/1]
   T>=88/(a+b)^2+2022 . (a^2+b^2)^2/2>=88+2022 . ((a+b)^2/2)^2/2=1363/4
   Dấu = xảy ra khi a=b=1/2

   Trả lời