Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A < 90; hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a/ BE = CF. b/T

1 bình luận về “Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A < 90; hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a/ BE = CF. b/T”

1. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   a) Xét tam giác vuông AEB và tam giác vuông AFC, ta có:

   · AB=AC (ΔABC cân tại A)

   · ∠A là góc chung

   ⇒ΔAEB=ΔAFC (cạnh huyền-góc nhọn)

   ⇒BE=CF (hai cạnh tương ứng)

   b) Gọi G là giao điểm của AH và BC.

   Ta có: BE, CF là hai đường cao và cắt nhau tại H

   ⇒H là trực tâm của ΔABC

   Do AG cắt BE tại H

   ⇒AG là đường cao của ΔABC

   ⇒ ∠AGB=∠AGC=$90^o$ (kề bù) (1)

   ⇒ΔAGB vuông tại G

   ⇒ΔAGC vuông tại G

   Xét tam giác vuông AGB và tam giác vuông AGC, ta có:

   · AG cạnh chung

   · AB=AC (ΔABC cân tại A)

   ⇒ΔAGB=ΔAGC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

   ⇒GB=GC (hai cạnh tương ứng) 

   ⇒G là trung điểm BC (2)

   Từ (1), (2)⇒ AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC

   ⇒HF=HE (định lý 2 của đường trung trực của đoạn thẳng)

   ⇒ΔHEF cân tại H

   c) Ta có: ΔABC cân tại A

   ⇒ ∠B=$\frac{180^o-∠A}{2}$ (3)

   Ta có: ΔHEF cân tại H

   ⇒ ∠HFE=∠HEF 

   Mà ∠HFE+∠AFE=$180^o$ (kề bù)

          ∠HEF+∠AEF=$180^o$ (kề bù)

   ⇒∠AFE=∠AEF

   ⇒ΔAFE cân tại A 

   ⇒∠AFE=$\frac{180^o-∠A}{2}$ (4)

   Từ (3), (4)⇒ ∠B=∠AFE

   Mà ∠B, ∠AFE ở vị trí đồng vị

   ⇒EF//BC

   d) Ta có: HF=HE (cmt)

   ⇒AH là đường trung trực của đoạn thẳng EF

   ⇒AH⊥EF

   Trả lời