Cho x và y là hai số thực dương thỏa mãn x + y nhỏ hơn hoặc bằng 6 chứng minh: x + y + 15/x + 15/ y lớn hơn hoặc bằng 16

2 bình luận về “Cho x và y là hai số thực dương thỏa mãn x + y nhỏ hơn hoặc bằng 6 chứng minh: x + y + 15/x + 15/ y lớn hơn hoặc bằng 16”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Ta có bất đẳng thức 1/x+1/y\ge4/(x+y)(1)

   Thật vậy, có: (x-y)^2\ge0

   <=>x^2-2xy+y^2\ge0

   <=>(x^2+2xy+y^2)-4xy\ge0

   <=>(x+y)^2\ge4xy

   <=>((x+y)^2)/(xy(x+y))\ge(4xy)/(xy(x+y)) (Vì xy(x+y)>0 do x,y>0)

   <=>(x+y)/(xy)\ge4/(x+y)

   <=>1/x+1/y\ge4/(x+y)

   Áp dụng bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức cosi có:

   x+y+15/x+15/y

   =(x+9/x)+(y+9/y)+(6/x+6/y)

   =(x+9/x)+(y+9/y)+6.(1/x+1/y)

   \ge2\sqrt{x. 9/x}+2\sqrt{y. 9/y}+6. 4/(x+y)

   \ge2\sqrt9+2\sqrt9+6. 4/6

   =2.2.3+4

   =16

   Dấu = xảy ra khi: x=y=3

   Vậy bất đẳng thức được chứng minh

   Trả lời
2. x + y + 15/x + 15/y

   = 5/3 x + 15/x + 5/3y + 15/y – 2/3 x – 2/3 y

   >= 2. sqrt(5/3 x . 15/x) + 2. sqrt( 5/3 y. 15/y) – 2/3(x + y) (AM – GM)

   >= 2.5 + 2.5 – 2/3 . 6

   = 16

   Dấu “=” xảy ra khi: x = y = 3.

    

   Trả lời