Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn: x ² + y ²= 4 trong mỗi trường hợp sau : a) tiếp tuyến song song với đường thẳng

1 bình luận về “Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn: x ² + y ²= 4 trong mỗi trường hợp sau : a) tiếp tuyến song song với đường thẳng”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Ta có: $x^2 + y^2 = 4$

   $\Rightarrow R = 2,$ tâm $I(0; 0)$

   a) Gọi $\Delta_1: ax + by + c = 0$ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn

   Ta có: Đường thẳng $\Delta_1 // d_1: 3x – y + 17 = 0$

   $\Rightarrow \Delta_1: 3x – y + c = 0$
   Ta có: $d(I, \Delta_1) = R = 2$
   $\Rightarrow \dfrac{|3 . 0 – 0 + c|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = 2$
   $\Leftrightarrow \dfrac{|c|}{\sqrt{10}} = 2$

   $\Leftrightarrow |c| = 2\sqrt{10}$

   $\Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt{10}$
   Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $\Delta_1: 3x – y + 2\sqrt{10} = 0$ và $\Delta_1: 3x – y – 2\sqrt{10} = 0$

   b)

   Gọi $\Delta_2: ax + by + c = 0$ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn

   Ta có: Đường thẳng $\Delta_2 \pm d_2: x + 2y – 5 = 0$

   $\Rightarrow \Delta_2: 2x – y + c = 0$

   Ta có: $d(I, \Delta_2) = R = 2$
   $\Rightarrow \dfrac{|2 . 0 – 0 + c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 2$
   $\Leftrightarrow \dfrac{|c|}{\sqrt{5}} = 2$

   $\Leftrightarrow |c| = 2\sqrt{5}$

   $\Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt{5}$
   Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $\Delta_2: 2x – y + 2\sqrt{5} = 0$ và $\Delta_2: 2x – y – 2\sqrt{5} = 0$

   c) Thay $x = 2, y = -2$ vào $x^2 + y^2$, ta có:

   $x^2 + y^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8 \ne 4$

   $\Rightarrow (2, -2) \notin x^2 + y^2 = 4$
   Gọi $\Delta_3: ax + by + c = 0$ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn

   $\Delta_3 \begin {cases} \text{đi qua }(2, -2) \\ \text{có vector pháp tuyến }\overrightarrow{n} = (a, b) \ne \overrightarrow{0} \end {cases}$

   $\Rightarrow a(x – 2) + b(y + 2) = 0$

   $\Leftrightarrow ax + by – 2a + 2b = 0$
   Ta có: $d(I, \Delta_3) = R = 2$

   $\Rightarrow \dfrac{|0a + 0b – 2a + 2b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 2$

   $\Rightarrow |-2a + 2b| = 2\sqrt{a^2 + b^2}$

   $\Leftrightarrow |-a + b| = \sqrt{a^2 + b^2}$

   $\Leftrightarrow (-a + b)^2 = a^2 + b^2$
   $\Leftrightarrow a^2 – 2ab + b^2 = a^2 + b^2$

   $\Leftrightarrow -2ab = 0$

   $\Leftrightarrow ab = 0$

   $\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}a=0 \\b=0\end{array} \right.\) 

   $TH_1: a = 0$

   Chọn $b = 1$, thay vào $\Delta_3: ax + by – 2a + 2b = 0$ ta được $\Delta_3: y + 2 = 0$

   $TH_2: b = 0$

   Chọn $a = 1$, thay vào $\Delta_3: ax + by – 2a + 2b = 0$ ta được $\Delta_3: x – 2 = 0$

   Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $\Delta_3: y + 2= 0$ và $\Delta_3: x – 2 = 0$

   Trả lời