Cho đường tròn (O) đkính BC. Trên (O) lấy A sao cho AB > AC. Hai tiếp tuyến kẻ từ A và B của (O) cắt nhau tại D. Chọn điểm M

1 bình luận về “Cho đường tròn (O) đkính BC. Trên (O) lấy A sao cho AB > AC. Hai tiếp tuyến kẻ từ A và B của (O) cắt nhau tại D. Chọn điểm M”

1. a) Ta có $\angle AOB = 2\angle ACB$ (cung cùng nằm trên đường tròn). Do đó, $\angle AOD = \angle AOB – \angle BOD = 2\angle ACB – \angle BOD$. Tương tự, $\angle BOD = \angle ABC$, nên $\angle AOD = 2\angle ACB – \angle ABC$.

   Mặt khác, $\angle ABD = \angle ACD = \angle ACB$, nên tam giác ABD và ADC đồng dạng. Do đó, $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AD}$, hay $AB = AC$ hoặc $AD = BD$. Vì $AB > AC$, nên $AD = BD$.

   Suy ra, $\angle ADB = \angle BAD = \frac{1}{2}\angle BOA$. Mà tứ giác DAOB là tứ giác nội tiếp (do $\angle AOD + \angle BOA = 180^\circ$), nên $\angle ADB = \angle DOB$.

   Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Khi đó, ta có $(ED,AB) = -1$ (do $ABCD$ là tứ giác điều hòa). Do đó, $DM.DN = DB^2$ (do $DMNB$ là tứ giác điều hòa).

   b) Gọi $H$ là trung điểm của $MN$. Khi đó, $HD$ là đường trung trực của $MN$, nên $HD \perp AB$. Ta cần chứng minh $HD$ là phân giác của $\angle AHB$.

   Gọi $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Khi đó, $P$ là trung điểm của $BC$ (do $ABCD$ là tứ giác điều hòa). Do đó, $PH$ là đường trung trực của $BC$, nên $PH \perp AB$.

   Ta có $\angle PHD = \angle PHM + \angle MHD = \angle PNM + \angle MAB = \angle ANB + \angle BAC$.

   Mặt khác, $\angle ANB = 180^\circ – \angle ADB = 180^\circ – \angle BAD = \angle BAC$. Do đó, $\angle PHD = 2\angle BAC$.

   Tương tự, ta cũng có $\angle AHB = 2\angle BAC$. Vậy $HD$ là phân giác của $\angle AHB$.

   c) Gọi $K’$ là giao điểm của $NI$ và $CB$. Ta cần chứng minh $K’ \equiv K$.

   Ta có $\angle NDI = \angle NBO = \angle ACB$, nên $ND \parallel AC$. Mặt khác, $NI \parallel DO$, nên $NDIO$ là hình bình hành. Do đó, $NO = ID = DM$.

   Gọi $K”$ là giao điểm của $DM$ và $CB$. Khi đó, ta có $(K”E,AB) = -1$ (do $ABCD$ là tứ giác điều hòa), nên $K”$ là trung điểm của $CB$. Do $NO \parallel CB$

   nên $K”O = NO – NK” = DM – NI = MN$.

   Mặt khác, $K”$ là trung điểm của $CB$, nên $K”O \parallel CB$. Do đó, $MN \parallel CB$.

   Gọi $K’$ là giao điểm của $NI$ và $CB$. Khi đó, ta có $(K’E,AB) = -1$ (do $ABCD$ là tứ giác điều hòa), nên $K’$ là trung điểm của $CB$. Vậy $K’ \equiv K$.

    

   Trả lời