cho a,b,c > 0 thỏa mãn: a+c=2b CMR: 1/(căn a + căn b) + 1/ (căn b + căn c) = 2/(căn a + căn c)

1 bình luận về “cho a,b,c > 0 thỏa mãn: a+c=2b CMR: 1/(căn a + căn b) + 1/ (căn b + căn c) = 2/(căn a + căn c)”

1. Ta có:

   $a+c=2b$

   $\Leftrightarrow a+2c=2b+c$

   $\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{c}=\sqrt{2b+c}$

   Vì $a,b,c>0$ nên $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}>0$. Do đó, ta có thể nhân cả hai vế của phương trình bởi $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ và $\sqrt{b}+\sqrt{c}$ mà không làm thay đổi tính đúng đắn của phương trình:

   $$\begin{aligned} (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) &= (\sqrt{a}+\sqrt{c})\sqrt{b+c} \ \Leftrightarrow ab + b\sqrt{c} + ac + bc &= b\sqrt{a} + 2bc + c\sqrt{a} \ \Leftrightarrow b(\sqrt{a}+\sqrt{c}-2\sqrt{b}) &= c\sqrt{a}-b\sqrt{c} \ \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} &= \frac{c\sqrt{a}-b\sqrt{c}}{b(\sqrt{a}+\sqrt{c}-2\sqrt{b})} \ &= \frac{c\sqrt{a}-b\sqrt{c}}{b\sqrt{a}+b\sqrt{c}-2b\sqrt{b}} \ &= \frac{c\sqrt{a}-b\sqrt{c}}{b(\sqrt{a}+\sqrt{c}-2\sqrt{b})} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b}} \ &= \frac{c\sqrt{a}+2b\sqrt{b}+b\sqrt{c}}{b(\sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b})} \end{aligned}$$

   Tương tự, ta cũng có:

   $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \frac{a\sqrt{c}-b\sqrt{a}}{a(\sqrt{b}+\sqrt{c}+2\sqrt{a})}$$

   Kết hợp hai phương trình trên, ta được:

   $\begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \ &= \frac{c\sqrt{a}+2b\sqrt{b}+b\sqrt{c}}{b(\sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b})} + \frac{a\sqrt{c}-b\sqrt{a}}{a(\sqrt{b}+\sqrt{c}+2\sqrt{a})} \ &= \frac{ac\sqrt{b}+2ab\sqrt{b}+b^2\sqrt{c}+bc\sqrt{a}-ab\sqrt{c}}{ab(\sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b})} \ &= \frac{(a+c)\sqrt{b}+b(\sqrt{a}-\sqrt{c})}{ab(\sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b})} \ &= \frac{2b\sqrt{b}+b(\sqrt{b})} \end{aligned}$$

   Trả lời