Cho 2 số thực không âm a,b .CM (a+b).(1+ab) lớn hơn hoặc bằng 4ab

2 bình luận về “Cho 2 số thực không âm a,b .CM (a+b).(1+ab) lớn hơn hoặc bằng 4ab”

1. (a + b)(1 + ab) \ge 4ab

   <=> a + a^2 b + b + ab^2 \ge 4ab

   <=> a^2 b +ab^2 + a + b – 4ab \ge 0

   <=> a^2 b – 2ab + b + ab^2 – 2ab + a \ge 0

   <=> b(a^2 – 2a + 1) + a(b^2 – 2b + a) \ge 0

   <=> b(a – 1)^2 + a(b – 1)^2 \ge 0

   Vì a,b là các số thực ko âm nên

   b(a – 1)^2 \ge 0

   a(b – 1)^2 \ge 0

   => b(a – 1)^2 + a(b – 1)^2 \ge 0

   hay (a +b)(1 + ab) \ge 4ab

   Dấu “=” xảy ra <=> a = b = 1 hoặc a = b = 0

   Vậy ………

   $#duong612009$

   Trả lời
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho a,b không âm

   a + b \ge 2sqrt{ab}

   ab + 1 \ge 2sqrt{ab}

   => (a + b)(ab + 1) \ge 4sqrt{ (ab)^2} = 4ab

   Dấu “=” xảy ra khi:

   {(a = b),(ab = 1):} => a = b = 1 hoặc a = b = 0

    

   Trả lời