Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao BD và đường cao CE cắt nhau tại H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC, M là đi

1 bình luận về “Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao BD và đường cao CE cắt nhau tại H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC, M là đi”

1. Giải đáp:

   a) Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

   $\widehat{BAD}=\widehat{EAC}$ ($=\widehat{BAC}$).

   $\Rightarrow\Delta ABD\backsim\Delta ACE$ (góc-góc).
   $\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   $\Rightarrow AB.AE=AC.AD$ (tính chất nhân chéo).

   b) Gọi $HK\cap BC=F$.

   $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$ mà $HK\cap BC=F$

   $\Rightarrow K$ đối xứng với $H$ qua $F$.

   Xét $\Delta HMK$ ta có:

   $F$ là trung điểm của $HK$ ($K$ đối xứng với $H$ qua $F$).

   $I$ là trung điểm của $HM$ ($M$ đối xứng với $H$ qua $I$).

   $\Rightarrow IF$ là đường trung bình của $\Delta HMK$

   $\Rightarrow IF//MK$ mà $\{I;F\}\in BC\Rightarrow MK//BC$

   $\Rightarrow BKMC$ là hình thang (dấu hiệu nhận biết).

   Xét tứ giác $BHCM$ ta có:

   $I$ là trung điểm cùa $BC$ (giả thiết).

   $I$ là trung điểm của $HM$ ($M$ đối xứng với $H$ qua $I$).

   $\Rightarrow BHCM$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

   $\Rightarrow BM=HC$ (hai cạnh đối bằng nhau).

   $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$ (giả thiết).

   $\Rightarrow BC$ là đường trung trực của $HK$.

   $\Rightarrow HC=CK$ (điểm cách đều hai đầu mút đoạn thẳng).

   Mà $BM=HC$ (chứng minh trên) $\Rightarrow BM=CK$.

   $\Rightarrow BKMC$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết).

   c) $\Delta ABC$ có $BD,CE$ là các đường cao

   Và $BD\cap DE=H\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

   $AH$ đi qua trực tâm $H$ của $\Delta ABC$

   $\Rightarrow AH$ là đường cao của $\Delta ABC\Rightarrow AH\,\bot\,BC$

   Mà $HK\,\bot\,BC$ ($BC$ là trung trực của $HK$) 

   $\Rightarrow HK\equiv AH\Rightarrow A,H,K$ thẳng hàng.

   $\Rightarrow AK\cap BC=HK\cap BC=F$.

   Áp dụng định lý Pythagoras cho $\Delta ABF$:

   $AB^2=AF^2+BF^2$ ($\Delta ABF$ vuông tại $F$).

   Áp dụng định lý Pythagoras cho $\Delta FCK$:

   $CK^2=KF^2+CF^2$ ($\Delta FCK$ vuông tại $F$).

   $AB^2+CK^2=AF^2+BF^2+KF^2+CF^2$.

   Áp dụng định lý Pythagoras cho $\Delta ACF$:

   $AC^2=AF^2+CF^2$ ($\Delta ACF$ vuông tại $F$).

   Áp dụng định lý Pythagoras cho $\Delta BKF$:

   $BK^2=BF^2+KF^2$ ($\Delta BKF$ vuông tại $F$).

   $AC^2+BK^2=AF^2+BF^2+KF^2+CF^2$

   Mà $AB^2+CK^2=AF^2+BF^2+KF^2+CF^2$

   $\Rightarrow AB^2+CK^2=AC^2+BK^2$.

   d) $I$ là trung điểm của $HM$ (giả thiết).

   $\Rightarrow AI$ là đường trung tuyến của $\Delta AHM$.

   $O$ là trung điểm của $AM$ (giả thiết).

   $\Rightarrow OH$ là đường trung tuyến của $\Delta AHM$.

   Mà $AI\cap OH=G\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$
   Trọng tâm $G$ thuộc trung tuyến $AI\Rightarrow AG=\dfrac23 AI$.
   $I$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

   $\Rightarrow AI$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.
   Mà $G\in AI$ và $AG=\dfrac23AI\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

   

   Trả lời