với x,y,z>0 cmr (x^2+5)(y^2+5)(z^2+5)>=6(x+y+z+3)^2

1 bình luận về “với x,y,z>0 cmr (x^2+5)(y^2+5)(z^2+5)>=6(x+y+z+3)^2”

1. Ta có:

   (x+y+z+3)^2

   =(x.1+sqrt5 . (y+z+3)/sqrt5)^2

   <=(x^2+5)[1+(y+z+3)^2/5]            (Bunhiaxcopki)

   Ta cần chứng minh:

   (x^2+5)(y^2+5)(z^2+5)>=6(x^2+5)[1+(y+z+3)^2/5]

   <=>(y^2+5)(z^2+5)>=6+6/5(y+z+3)^2

   <=>5(y^2+5)(z^2+5)>=30+6(y+z+3)^2

   <=>5(y^2z^2+5y^2+5z^2+25)>=30+6(y^2+z^2+9+2yz+6z+6y)

   <=>5y^2z^2+25y^2+25z^2+125>=30+6y^2+6z^2+54+12yz+36y+36z

   <=>(5y^2z^2-10yz+5)+(y^2-2yz+z^2)+(18y^2-36y+18)+(18z^2-36z+18)>=0

   <=>5(yz-1)^2+(y-z)^2+18(y-1)^2+18(z-1)^2>=0

   -> Luôn đúng

   => (x^2+5)(y^2+5)(z^2+5)>=6(x+y+z+3)^2

   Dấu “=” xảy ra <=>x=y=z=1

   Vậy BĐT được chứng minh

   Trả lời