Cho x,y,z R. Chứng minh $x^{2}$ +$y^{2}$ +$z^{2}$ $\geq$ 2 (x+y+z)

1 bình luận về “Cho x,y,z R. Chứng minh $x^{2}$ +$y^{2}$ +$z^{2}$ $\geq$ 2 (x+y+z)”

1. Giải đáp:

   Chúng ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

   (x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) ≥ (x + y + z)^2

   Từ đó suy ra: x^2 + y^2 + z^2 ≥ (x + y + z)^2/3

   Vì (x + y + z)^2 ≥ 3(xy + yz + zx),

   nên ta có thể tiếp tục: x^2 + y^2 + z^2 ≥ (x + y + z)^2/3 ≥ 2(xy + yz + zx) = 2(x(y + z) + yz)

   Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức ban đầu: x^2 + y^2 + z^2 ≥ 2(x + y + z)

    

   Trả lời