Cho tam giác ABC cân ở A kẻ tia phân giác BD của góc B và tia phân giác DM của góc BDC đường phân giác của góc ADB cắt đường

Cho tam giác ABC cân ở A kẻ tia phân giác BD của góc B và tia phân giác DM của góc BDC đường phân giác của góc ADB cắt đường thẳng BC ở N
Chứng minh BD=1/2 MN
có hình

1 bình luận về “Cho tam giác ABC cân ở A kẻ tia phân giác BD của góc B và tia phân giác DM của góc BDC đường phân giác của góc ADB cắt đường”

  1. Giải đáp:
    Để chứng minh BD = 1/2MN, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác và nhận xét về các tam giác đồng dạng.

    Ta có:

    – Phân giác BD của góc B chia góc ADB thành hai góc bằng nhau, do đó ABD cũng là tam giác cân tại A.
    – Phân giác DM của góc BDC chia góc MDB thành hai góc bằng nhau, do đó MDB cũng là tam giác cân tại M.
    – Gọi I là giao điểm của AD và BM. Do DMI là tam giác cân tại M nên I nằm trên đường phân giác của góc DMB.
    – Từ đó suy ra MIN và MID là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau), ta có:
       MNMD = MDMI
      Hay: MN.MI = MD2

    – Tương tự, ta có BAM và BDI là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau), ta có:
       BDBA = DIAM
      Hay: BD.AM = BA.DI

    – Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với BD ta được: 
      BD.MN.MI = BD.MD2
      Hay: MN.MI = MD2/BD

    – Nhân hai vế của phương trình thứ hai với MI ta được:
      BD.AM.MI = BA.DI.MI
      Hay : BD.MN.MI = BA.DI.MI
     
     + Vậy ta suy ra được : MN/BD = DI/BA
     
     Vì tam giác ABC cân nên ta có BD=BA 
     
     Đặt BD=BA=x , MD=y
     
     Ta có MN.MI = MD2/BD
     
                  = y2/x
                  
    MN/BD = DI/BA
     
                     = (DM+MI)/(AB+BI)
                     
                     =[(DM+y)/(AB+x)].[(AB+x)(DM+y)]/(AB+x)+(DM+y)]
                     
                     =[(DM+y)/(AB+x)].[ABDM]/(2AB+x+y)
                     
                     =y/(2x+y) (vì AB=BD=x)
                     
    Vậy ta được MN.x/2 =y/2, hay BD=1/2MN.

    Vậy BD bằng một nửa đường trung bình tương ứng với cạnh AC trong tam giác AMC.

     

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới