1) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = 2n3 – n2 -16n +8

2 bình luận về “1) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = 2n3 – n2 -16n +8”

1. → Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   → Ta có :

   p = 2n³ – n² – 16n + 8 

   = 2n²( n – $\dfrac{1}{2}$ ) – 16( n – $\dfrac{1}{2}$ )

   = ( n – $\dfrac{1}{2}$ )( 2n² – 16 )

   = 2( n² – 16 )( n – $\dfrac{1}{2}$ )

   → Ta dễ dàng thấy p luôn là số chẵn ⇒ Để p là số

   nguyên tố thì p = 2 ( 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất ).

   ⇒ ( n² – 16 )( n – $\dfrac{1}{2}$ ) = 1

   ⇔ n³ – $\dfrac{1}{2}$n² – 16n + 8 = 1

   ⇔ n³ – $\dfrac{1}{2}$n² – 16n + 7 = 0

   ⇔ 2n³ – n² – 32n + 14 = 0

   ⇔ n( 2n² – n – 32 ) = – 14

   → Ta dễ dàng thấy n $\in$ N nên ( 2n² – n – 32 ) phải

   có giá trị là số âm.

   + $TH_1$ : $\begin{cases} n = 7 \\ 2n² – n – 32 = -2 \end{cases}$

   → Xét 2n² – n – 32 = – 2

   ⇔ 2n² – n – 30 = 0

   ⇔ 2n² – n + $\dfrac{1}{8}$ – $\dfrac{241}{8}$ = 0

   ⇔ ( $\sqrt{2}$n – $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ )² = $\dfrac{241}{8}$. ( loại ).

   + $TH_2$ : $\begin{cases} n = 2 \\ 2n² – n – 32 = -7 \end{cases}$

   → Xét 2n² – n – 32 = -7

   ⇔ 2n² – n – 25 = 0

   ⇔ 2n² – n + $\dfrac{1}{8}$ = $\dfrac{201}{8}$

   ⇔ ( $\sqrt{2}$n – $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ )² = $\dfrac{201}{8}$. ( loại ).

   → Vậy không có số tự nhiên n nào để thỏa mãn.

   Trả lời
2. Ko bt đúng ko nha ạ

   Để p là số nguyên tố, ta cần xét các giá trị của n để p là số nguyên tố.

   Để thuận tiện, ta gán:

   f(n) = 2n^3 – n^2 – 16n + 8

   p = f(n)

   Nếu p là số nguyên tố thì p phải khác 2 (vì p lẻ với mọi n dương)

   Đồng thời, ta có thể dùng định lý Euclid để kiểm tra số p có phải là số nguyên tố hay không.

   Nếu p là số nguyên tố thì p phải là số nguyên tố cùng nhau với 2, tức là 2^(p-1) 1 (mod p).

   Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có: 2^(p-1) 1 (mod p) nên p – 1 phải chia hết cho 3 (vì 2 là phần tử sinh của Zp*).

   Từ đó ta có:

   2n^3 – n^2 – 16n + 8 – 1 chia hết cho 3

   2n^3 – n^2 – 16n + 7 chia hết cho 3

   Ta xét trường hợp n chia hết cho 3:

   Gọi n = 3k, k là số tự nhiên.

   Thay n = 3k vào biểu thức f(n), ta được:

   f(n) = 54k^3 – 9k^2 – 48k + 8

   = 3(18k^3 – 3k^2 – 16k + 2)

   Do 18k^3 – 3k^2 – 16k + 2 là số nguyên nên ta suy ra 3 | f(n)

   Vậy, nếu n chia hết cho 3 thì 2n^3 – n^2 – 16n + 8 không phải là số nguyên tố.

   Xét tiếp trường hợp n không chia hết cho 3:

   Ta phân tích f(n) = 2n^3 – n^2 – 16n + 8 = (n – 2)(2n^2 + 3n – 4)

   Ta sẽ chứng minh rằng nếu n không chia hết cho 3 thì 2n^2 + 3n – 4 không chia hết cho 3.

   Giả sử 2n^2 + 3n – 4 chia hết cho 3, ta có:

   2n^2 + 3n – 4 0 (mod 3)

   Tương đương với: n^2 n + 1 (mod 3)

   Vì n không chia hết cho 3 nên n ±1 (mod 3)

   Nếu n 1 (mod 3) thì n^2 1 (mod 3), n^2 n + 1 (mod 3), mâu thuẫn.

   Nếu n -1 (mod 3) thì n^2

   Trả lời