Cho phương trình `x^2-2(m+1)x+m^2-1=0`. Tìm `m` để phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2` thỏa mãn `x_1^2+x_2^2=x_1.x_2+8`

1 bình luận về “Cho phương trình `x^2-2(m+1)x+m^2-1=0`. Tìm `m` để phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2` thỏa mãn `x_1^2+x_2^2=x_1.x_2+8`”

1. Giải đáp:

    Ta cho PT(1) là x^{2}-2.(m+1).x+m^{2}-1=0

   a=1;b=-2.(m+1);b’=-(m+1);c=m^{2}-1

   Ta có:

   \Delta’=b’^{2}-ac

   =[-(m+1)]^{2}-1.(m^{2}-1)

   =(m+1)^{2}-(m^{2}-1)

   =m^{2}+2m+1-m^{2}+1

   =2m+2

   -) Để phương  trình có 2 nghiệm x_{1};x_{2} thì \Delta’\ge0

   <=>2m+2\ge0<=>2m\ge-2<=>m\ge-1

   Vậy m\ge-1 để phương trình có 2 nghiệm x_{1};x_{2}

   -) Theo vi-ét ta có:

   $\begin{cases} x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-2.(m+1)}{1}=2m+2\\x_{1}.x_{2}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^{2}-1}{1}=m^{2}-1\\ \end{cases}$

    -) Ta xét biểu thức sau:

   x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}.x_{2}+8

   <=>x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}=8

   <=>(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-3x_{1}x_{2}=8

   <=>(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=8 $(*)$

   +) Thay x_{1}+x_{2}=2m+2;x_{1}.x_{2}=m^{2}+1 vào biểu thức $(*)$ ta được:

   (2m+2)^{2}-3.(m^{2}+1)=8

   <=>2^{2}.(m+1)^{2}-3m^{2}-3=8

   <=>4.(m^{2}+2m+1)-3m^{2}-3=8

   <=>4m^{2}+8m+4-3m^{2}=11

   <=>(4m^{2}-3m^{2})+8m=11-4

   <=>m^{2}+8m=7

   <=>m^{2}+8m-7=0

   <=>m^{2}+2.m.4+4^{2}-23=0

   <=>(m+4)^{2}=23

   <=>(m+4)^{2}=(\pm\sqrt{23})^{2}

   <=>m+4=\sqrt{23} hoặc m+4=-\sqrt{23}

   <=>m=\sqrt{23}-4(tmđk) hoặc x=-\sqrt{23}-4(tmđk)

   Vậy m\in{\pm\sqrt{23}-4} là giá trị cần tìm để phương trình (1) có 2 nghiệm x_{1};x_{2} thảo mãn x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}.x_{2}+8

   Trả lời