Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O;R) hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại y và x kẻ đường kính AK của (O;R) . Đường thẳng HK cắt (O;R)
tại P
a, c/m tứ giác AEHF nội tiếp
b, c/m PB . PE=PC.PE
– Kẻ $OH\perp EF$, suy ra $H$ nằm trên đường tròn đường kính $EF$.
– Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $AM\perp OH$, suy ra $A$, $M$, $H$ thẳng hàng.
– Gọi $N$ là trung điểm của $EF$, khi đó $AN$ là đường trung bình trong tam giác $AEF$, nên $AN\perp EF$. Do đó $AN\parallel BC$, suy ra $\triangle ANH\sim\triangle ACF$.
– Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Ta có:
$$\widehat{AFH}=\widehat{ACH}=90^\circ-\widehat{ABC}=90^\circ-\widehat{AED}=\widehat{EDF}$$
Do đó $AFDH$ nội tiếp trong một đường tròn.
– Gọi $P’$ là trung điểm của $AH$, khi đó $AP’\perp HP$, suy ra $AP’$ là đường trung bình trong tam giác $AFH$. Do đó, ta có:
$$HP’=MP’=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{2S_{ABC}}{BC}$$
– Gọi $I$ là giao điểm của $P’H$ và $EF$, khi đó ta có $\triangle EIF\sim\triangle ABC$, suy ra:
$$\dfrac{EI}{BC}=\dfrac{EN}{BN}\Leftrightarrow EI=\dfrac{NE}{NB}\cdot BC$$
$$\dfrac{FI}{BC}=\dfrac{FN}{CN}\Leftrightarrow FI=\dfrac{NF}{NC}\cdot BC$$
Do $NB=NC$, ta có:
$$EI=FI=\dfrac{NE+NF}{NB}\cdot BC=\dfrac{EF}{NB}\cdot BC=2R$$
– Gọi $P$ là giao điểm của $P’H$ và đường tròn $(O,R)$, khi đó ta có $\widehat{P’HP}=\widehat{PHI}$ nên tam giác $PHI$ đồng dạng với tam giác $ABC$, suy ra $AP$ là đường cao của tam giác $APH$. Khi đó:
$$HP\cdot HP’=HP\cdot MP’=\dfrac{2S_{ABC}}{BC}\cdot\dfrac{AH}{2}=S_{ABC}=S_{AEHF}$$
Do đó, ta có:
$$\dfrac{PE}{HP}=\dfrac{PI}{HI}\Leftrightarrow PE=\dfrac{2R}{HP}\cdot HI=\dfrac{2R\cdot AP\cdot HP’}{HP^2}=\dfrac{2R\cdot HP’}{HP}$$
Tương tự, ta có:
$$\dfrac{PC}{HP}=\dfrac{PI}{HI}\Leftrightarrow PC=\dfrac{2R\cdot HP’}{HP}$$
Do đó $PE=PC$, suy ra tứ giác $BPEH$ là tứ giác điều hòa, suy ra điều phải chứng minh.