Cho M nằm bên ngoài đường tròn tâm O bán kính r vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn a và b là các tiếp điểm vẽ đường kính AE và BD và đường tròn tâm O M D cắt đường tròn O tại điểm thứ hai và cc khác D cắt AB tại H.Chứng minh
a)góc MCB=90°và góc CMB=gócBHE
b)〖OH.OM=R〗^2
a) Chứng minh góc MCB = 90 độ và góc CMB bằng góc BHE:
– Ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn a nên góc AME bằng góc CMB (cùng chắn cung BM trên đường tròn a).
– Tương tự, ta có BN là tiếp tuyến của đường tròn b nên góc BNF bằng góc MCB (cùng chắn cung CM trên đường tròn b).
– Ta cũng thấy rằng góc AHE bằng góc BHD bởi vì hai cung còn lại trên đường tròn o là cung AE và BD nên chắn một góc bằng nhau.
– Góc AHE bằng 90 độ vì đường tròn o có đường kính AE và BD, nên góc AHB bằng 90 độ.
– Vậy góc MCB bằng 90 độ và góc CMB bằng góc BHE.
b) Chứng minh OH.OM = r^2:
– Ta có OH là đường cao của tam giác OAB nên OH = OA.cos(AOH).
– Giải thích thêm, góc AOH bằng nửa góc ACB (cùng chắn cung AB trên đường tròn a), nên cos(AOH) = sin(ACB) = CM/AM (vì ta có tam giác vuông AOC).
– Do đó, OH = OA.CM/AM.
– Tương tự, ta có OM = OB.CM/BN.
– Nhân vế vế hai biểu thức trên ta được: OH.OM = OA.OB.(CM/AM).(CM/BN) = r^2 (bởi vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác OMB và OMA).
– Vậy OH.OM = r^2.
#trongvan24877
#hoidap247