Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD.Qua điểm M trong tam giác ABC kẻ hai đường thẳng song song với các cạnh của hình

2 bình luận về “Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD.Qua điểm M trong tam giác ABC kẻ hai đường thẳng song song với các cạnh của hình”

1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   Bài 1:

   Gọi giao điểm của AC với HF là K.Qua K kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB;DC lần lượt tại P; Q.Các tứ giác APKH ;KFCQ ;ABCD là các hình chữ nhật

   Do đó    $S_{APK}$= $S_{AHK}$ ;$S_{KQC}$ =$S_{KFC}$;$S_{ABC}$ =$S_{ADC}$ 

   Mà         $S_{ADC}$ =$S_{HKQD}$ +$S_{AHK}$ + $S_{KQC}$ 

                 $S_{ABC}$ = $S_{KPBF}$ + $S_{APK}$ + $S_{KFC}$ 

   Suy ra    $S_{HKQD}$ = $S_{KPBF}$                              (1)

   Ta có      $S_{MEBF}$ = $S_{KPBF}$ $-$ $S_{KPEM}$    (2)

                 $S_{MFDH}$ = $S_{HKQD}$ + $S_{KMGQ}$   (3)

   Từ (1); (2);(3) ta có $S_{MEBF}$ $<$ $S_{MGDH}$

   ————————

   Bài 2: 

   Vẽ OH ⊥ BC,OE//m (H,E ∈ BC), m//m’ (gt) nên OE//m’

   $Δ$ABC có OE//AB ⇒ $\frac{OE}{AB}$ =$\frac{EC}{BC}$ (1)

   $Δ$BDC có OE//DC ⇒ $\frac{OE}{CD}$ =$\frac{BE}{BC}$ (2)

   Cách 1: 

   Từ (1),(2) ta có $\frac{OE^2}{AB.CD}$ = $\frac{BE.EC}{BC^2}$ .Mà BE.EC $\leq$ $\frac{1}{4}$  (BE $+$ EC$)^2$= $\frac{1}{4}$$BC^2$

   Suy ra AB.CD $\geq$ 4.$OE^2$. Mặt khác OE $\geq$  OH nên AB.CD $\geq$  4.$OH^2$

   Dấu “=” xảy ra ⇔ BE=EC , E=H ⇔ m⊥ BC; m’⊥ BC

   Cách 2:

   Từ (1),(2) ta có 

   OE$($$\frac{1}{AB}$ $+$ $\frac{1}{CD}$$)$ = $\frac{BE+ EC}{BC}$ = $1$ ⇒ $\frac{1}{AB}$ + $\frac{1}{CD}$ =$\frac{1}{OE}$ 

   Do đó $\frac{1}{AB}$ .$\frac{1}{CD}$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ ($\frac{1}{AB}$ + $\frac{1}{CD}$ $)^2$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ $($$\frac{1}{OH}$ $)^2$

   ⇒ AB.CD $\geq$ $4OH^2$ (vì OE $\geq$  OH)

   Dấu “=” xảy ra ⇔ AB=CD và E=H

                           ⇔ m ⊥ BC và m’ ⊥ BC

   Trả lời
2. Giải đáp:

   Gọi giao điểm của AC và HF là K.Qua K kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB,DC lần lượt tại P,Q.Các tứ giác APKH;KFCQ;ABCD là các hình chữ nhật,do đó:

   $S_{APK}$= $S_{AHK}$ ;$S_{KQC}$ =$S_{KFC}$;$S_{ABC}$ =$S_{ADC}$

   Mà $S_{ADC}$ =$S_{HKQD}$ +$S_{AHK}$ + $S_{KQC}$ 

   $S_{ABC}$ = $S_{KPBF}$ + $S_{APK}$ + $S_{KFC}$

   ⇒ $S_{HKQD}$ = $S_{KPBF}$ (1)

   Ta có: $S_{MEBF}$ = $S_{KPBF}$ $-$ $S_{KPEM}$ (2)

   $S_{MFDH}$ = $S_{HKQD}$ + $S_{KMGQ}$ (3)

   Từ (1),(2),(3) ta có $S_{MEBF}$ $<$ $S_{MGDH}$ 

   Bài 2: 

   Vẽ OH ⊥ BC,OE//m (H,E ∈ BC) m//m’ (gt) nên OE//m’

   ΔABC có OE//AB⇒ $\frac{OE}{AB}$ =$\frac{EC}{BC}$ (1) ;$Δ$BDC có OE//DC ⇒ $\frac{OE}{CD}$ =$\frac{BE}{BC}$ (2)

   Từ (1),(2) ta có $\frac{OE^2}{AB.CD}$ = $\frac{BE.EC}{BC^2}$ .Mà BE.EC $\leq$ $\frac{1}{4}$  (BE $+$ EC$)^2$= $\frac{1}{4}$$BC^2$

   ⇒AB.CD $\geq$ 4.$OE^2$. Mặt khác OE $\geq$  OH nên AB.CD $\geq$  4.$OH^2$

   Dấu “=” xảy ra ⇔ BE=EC , E=H ⇔ m⊥ BC; m’⊥ BC

   Trả lời