Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có A(-6;5) và B,C thuộc đường thẳng d: 2x – y + 11 = 0. Tìm toạ độ B,C.

1 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có A(-6;5) và B,C thuộc đường thẳng d: 2x – y + 11 = 0. Tìm toạ độ B,C.”

1. Vì  B, C thuộc đt  d: 2x – y + 11 = 0 nên:$\\$

   B = (x_B ; 2x_B + 11)  ;    C = (x_C ; 2x_C + 11) $\\$

   \vec{AB} = (x_B + 6 ; 2x_B + 6)$\\$

   \vec{AC} = (x_C + 6 ; 2x_C + 6)$\\$

   Vì tam giác ABC vuông tại A nên:$\\$

   \vec{AB}. \vec{AC} = 0$\\$

   <=> (x_B + 6). (x_C + 6) + (2x_B + 6). (2x_C + 6) = 0$\\$

   <=> 5x_B. x_C + 18x_B + 18x_C + 72 = 0  (1)$\\$

   Gọi  M (x_M ; 2x_M + 11) là chân đường cao hạ từ A  (M \in BC)$\\$

   Có:  AM = d(A ; d) = {|2. (-6) – 5 + 11|}/{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = {6\sqrt{5}}/5$\\$

   \vec{AM} = (x_M + 6 ; 2x_M + 6) $\\$

   => |\vec{AM}| = \sqrt{(x_M + 6)^2 + (2x_M + 6)^2} = {6\sqrt{5}}/5$\\$

   <=> \sqrt{5x_M^2 + 36x_M + 72} = {6\sqrt{5}}/5$\\$

   <=> 5x_M^2 + 36x_M + 324/5 = 0$\\$

   <=> x_M = -18/5$\\$

   => y_M = 2. {-18}/5 + 6 = -6/5$\\$

   => M = (-18/5 ; -6/5)$\\$

   Vì tam giác ABC cân tại A nên:$\\$

   AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến$\\$

   => M trung điểm BC$\\$

   => x_B + x_C = -36/5  (2)$\\$

   Từ  (1) và  (2)  ta có hệ pt:$\\$

   $\begin{cases} 5x_B. x_C + 18x_B + 18x_C + 72 = 0\\x_B + x_C = -\dfrac{36}{5} \end{cases}$$\\$

   <=> $\begin{cases} x_B = -\dfrac{36}{5} – x_C\\5x_C. (-\dfrac{36}{5} – x_C) + 18. (-\dfrac{36}{5} – x_C) + 18x_C + 72 = 0 \end{cases}$$\\$

   <=> $\begin{cases} x_B = -\dfrac{36}{5} – x_C\\-5x_C^2 – 36x_C – \dfrac{288}{5}  = 0 \end{cases}$$\\$

   <=> $\begin{cases} \left[\begin{matrix} x_B =-\dfrac{24}{5} \\ x_B =-\dfrac{12}{5}\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix} x_C = -\dfrac{12}{5}\\ x_C = -\dfrac{24}{5}\end{matrix}\right. \end{cases}$ $\\$

   => $\begin{cases} \left[\begin{matrix} y_B =-\dfrac{18}{5} \\ y_B = \dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix} y_C = \dfrac{6}{5}\\ y_C = -\dfrac{18}{5}\end{matrix}\right. \end{cases}$  $\\$

   Vậy tọa độ hai điểm cần tìm là:$\\$

   B =(-24/5 ; -18/5)  ;   C=(-12/5 ; 6/5)$\\$

   hoặc$\\$

   B= (-12/5 ; 6/5)   ;    C = (-24/5 ; -18/5)$\\$ 

    

   Trả lời