Chứng minh các bất đẳng thức sau với `x , y , z >0` `a, x/{1 + x^2} + y/{1 + y^2} + z/{1 + z^2} <= 3/2` với `x + y + z &lt

1 bình luận về “Chứng minh các bất đẳng thức sau với `x , y , z >0` `a, x/{1 + x^2} + y/{1 + y^2} + z/{1 + z^2} <= 3/2` với `x + y + z &lt”

1. a)

   Áp dụng BĐT AM-GM:

   x^2+1>=2sqrt(x^2 .1)=2x

   => x/(1+x^2)<=x/(2x)=1/2

   Tương tự:

   y/(1+y^2)<=1/2

   z/(1+z^2)<=1/2

   Cộng theo vế:

   => x/(1+x^2)+y/(1+y^2)+z/(1+z^2)<=3/2

   Dấu “=” <=>x=y=z=1

   b)

   Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

   (x+y)(y+z)(z+x)>=8/9(xy+yz+zx)(x+y+z)

   <=>9(x+y)(y+z)(z+x)>=8(x+y+z)(xy+yz+zx)

   <=>9(x+y)(y+z)(z+x)>=8(x+y)(xy+yz+zx)+8z(xy+yz+zx)

   <=>9(x+y)(y+z)(z+x)>=8(x+y)(xy+yz+zx)+8z(yz+zx)+8xyz

   <=>9(x+y)(y+z)(z+x)>=8(x+y)(xy+yz+zx)+8z^2(x+y)+8xyz

   <=>9(x+y)(y+z)(z+x)>=8(x+y)(xy+yz+zx+z^2)+8xyz

   <=>9(x+y)(y+z)(z+x)>=8(x+y)[y(z+x)+z(z+x)]+8xyz

   <=>9(x+y)(y+z)(z+x)>=8(x+y)(y+z)(z+x)+8xyz

   <=>(x+y)(y+z)(z+x)>=8xyz

   Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM:

   {(x+y>=2sqrt(xy)),(y+z>=2sqrt(yz)),(z+x>=2sqrt(zx)):}

   Nhân theo vế:

   =>(x+y)(y+z)(z+x)>=2sqrt(xy).2sqrt(yz).2sqrt(zx)=8xyz

   -> Bất đẳng thức được chứng minh

   Dấu “=” <=>x=y=z

   Trả lời