Tìm GTLN của biểu thức sau A = `x+y+z` – $x^{2}$ -$2y^{2}$ – $4z^{2}$

2 bình luận về “Tìm GTLN của biểu thức sau A = `x+y+z` – $x^{2}$ -$2y^{2}$ – $4z^{2}$”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

    A= x+y + z -x^2 – 2y^2 – 4z^2

   = (-x^2 + x) + (-2y^2 + y) + (-4z^2 + z)

   =-(x^2 – x) – 2(y^2 – 1/2y) – 4(z^2 – 1/4z)

   =-(x^2 – x + 1/4) – 2(y^2 – 1/2 y + 1/16) -4(z^2 – 1/4z + 1/64) + (-1/4 – 1/16 – 1/64)

   =-(x – 1/2)^2 – 2(y-1/4)^2 – 4(z-1/8)^2 – 21/64 <= -21/64 AA x

   Dấu “=” xảy ra khi :

   {((x-1/2)^2 = 0),((y-1/4)^2 = 0),((z-1/8)^2 = 0):}

   => {(x=1/2),(y=1/4),(z=1/8):}

   Trả lời
2. $\text{→ Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{A = x + y + z – x² – 2y² – 4z²}$

   $\text{⇒ -A = x² + 2y² + 4z² – x – y – z}$

   $\text{= ( x² – x ) + ( 2y² – y ) + ( 4z² – z )}$

   $\text{=( x² – x + $\dfrac{1}{4}$ ) + 2( y² – $\dfrac{1}{2}$y + $\dfrac{1}{16}$ ) + [ ( 2z )² – z + $\dfrac{1}{64}$ ]}$

   $\text{- $\dfrac{1}{4}$ – $\dfrac{1}{16}$ – $\dfrac{1}{64}$}$

   $\text{= ( x – $\dfrac{1}{2}$ )² + 2( y – $\dfrac{1}{4}$ )² + ( 2z – $\dfrac{1}{8}$ )² – $\dfrac{21}{64}$}$

   $\text{→ Ta dễ dàng thấy :}$

   $\text{( x – $\dfrac{1}{2}$ )² + 2( y – $\dfrac{1}{4}$ )² + ( 2z – $\dfrac{1}{8}$ )² – $\dfrac{21}{64}$  ≥ -}$ $\text{$\dfrac{21}{64}$ ;( $\forall$ x , y , z ).}$

   $\text{⇒ -A ≥ $\dfrac{- 21}{64}$}$

   $\text{⇒ A ≤ $\dfrac{21}{64}$}$

   $\text{→ Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi :}$

   $\text{$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{4}\\z=\dfrac{1}{16} \end{cases}$.}$

   Trả lời