Tìm GTLN của biểu thức sau `x+y+z` – $x^{2}$ -$2y^{2}$ – $4z^{2}$

1 bình luận về “Tìm GTLN của biểu thức sau `x+y+z` – $x^{2}$ -$2y^{2}$ – $4z^{2}$”

1. $\text{→ Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:}$

   $\text{→ Ta giả sử :}$

   $\text{A = x + y + z – x² – 2y² – 4z²}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{A = x + y + z – x² – 2y² – 4z²}$

   $\text{⇒ -A = x² + 2y² + 4z² – x – y – z}$

   $\text{= ( x² – x ) + ( 2y² – y ) + ( 4z² – z )}$

   $\text{=( x² – x + $\dfrac{1}{4}$ ) + 2( y² – $\dfrac{1}{2}$y + $\dfrac{1}{16}$ ) + [ ( 2z )² – z + $\dfrac{1}{64}$ ]}$

   $\text{- $\dfrac{1}{4}$ – $\dfrac{1}{16}$ – $\dfrac{1}{64}$}$

   $\text{= ( x – $\dfrac{1}{2}$ )² + 2( y – $\dfrac{1}{4}$ )² + ( 2z – $\dfrac{1}{8}$ )² – $\dfrac{21}{64}$}$

   $\text{→ Ta dễ dàng thấy :}$

   $\text{( x – $\dfrac{1}{2}$ )² + 2( y – $\dfrac{1}{4}$ )² + ( 2z – $\dfrac{1}{8}$ )² – $\dfrac{21}{64}$  ≥ -}$ $\text{$\dfrac{21}{64}$ ;( $\forall$ x , y , z ).}$

   $\text{⇒ -A ≥ $\dfrac{- 21}{64}$}$

   $\text{⇒ A ≤ $\dfrac{21}{64}$}$

   $\text{→ Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi :}$

   $\text{$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{4}\\z=\dfrac{1}{16} \end{cases}$.}$

   Trả lời