Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ tia phân giác góc ABC cắt AC tại D. a, Biết BC = 5cm, AB = 3cm. Tính AC và AD. b, Qua D kẻ D

1 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ tia phân giác góc ABC cắt AC tại D. a, Biết BC = 5cm, AB = 3cm. Tính AC và AD. b, Qua D kẻ D”

1. Giải đáp:

   a) Áp dụng định lý Pythagoras cho $\Delta ABC$ có:

   $BC^2=AB^2+AC^2$

   $\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2$

   $\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}$

   $\Rightarrow AC=\sqrt{5^2-3^2}$

   $\Rightarrow AC=\sqrt{16}=4(cm)$.

   Xét $\Delta ABC$ có đường phân giác $BD$

   Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:
   $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\Rightarrow \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC-AD}{BC}$
   $\Rightarrow AD.BC=AB.(AC-AD)$

   $\Rightarrow AD.BC-AB.AC+AB.AD=0$

   $\Rightarrow AD(AB+BC)=AB.AC$
   $\Rightarrow AD=\dfrac{AB.AC}{AB+BC}$
   $\Rightarrow AD=\dfrac{3.4}{3+5}=\dfrac32(cm)$
   Vậy $AC=4(cm),AD=\dfrac32(cm)$.
   b) $E$ là hình chiếu của $A$ trên $BC\Rightarrow AE\,\bot\,BC$.

   Xét tam giác vuông $\Delta ABC$ và $\Delta HDC$ ta có:

   $\widehat{ACB}=\widehat{HCD}$ ($D\in AC,H\in BC$).

   $\Rightarrow\Delta ABC\backsim\Delta HDC$ (góc-góc).
   $\Rightarrow\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{CD}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   $\Rightarrow HC.BC=AC.CD$ (tính chất nhân chéo).

   c) Xét $\Delta ABC$ có đường phân giác $BD$

   Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:
   $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{CD}{AD}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   Ta có $AE\,\bot\,BC$ (chứng minh trên) mà $DH\,\bot\,BC$

   $\Rightarrow AE//DH$ (từ vuông góc đến song song).

   Xét $\Delta ACE$ có $AE//DH$ ($D\in AC,H\in CE$).

   Áp dụng định lý Thales cho $\Delta ACE$ có:
   $\Rightarrow\dfrac{HC}{HE}=\dfrac{CD}{AD}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   Mà $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{CD}{AD}$ nên $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{HC}{HE}$.
   d) Xét tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta BDH$ có:

   $\widehat{ABD}=\widehat{HBD}$ ($BD$ là tia phân giác $\widehat{ABC}$).

   $BD$ là cạnh chung.

   $\Rightarrow\Delta ABD=\Delta BDH$ (cạnh huyền-góc nhọn).

   $\Rightarrow AB=BH$ (hai cạnh tương ứng).

   $\Rightarrow\Delta ABH$ cân tại $B$ (hai cạnh bên bằng nhau).

   $\Delta ABH$ cân tại $B$ có đường phân giác $BD$

   $\Rightarrow BD$ cũng là đường trung tuyến của $\Delta ABH$

   $\Rightarrow BO$ cũng là đường trung tuyến của $\Delta ABH$

   $\Rightarrow O$ là trung điểm của $AH\Rightarrow OA=OH$.

   Đường song song $AH$ cắt $CO$ tại $M\Rightarrow OH//BM$.

   Xét $\Delta BCM$ có $OH//BM$ ($O\in MC,H\in BC$).

   Theo hệ quả của định lý Thales ta có:
   $\dfrac{OC}{MC}=\dfrac{OH}{MB}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   Đường song song $AH$ cắt $AC$ tại $N\Rightarrow OA//MN$.

   Xét $\Delta MNC$ có $OA//MN$ ($A\in NC,O\in MC$).

   Theo hệ quả của định lý Thales ta có:
   $\dfrac{OM}{MC}=\dfrac{OA}{MN}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   $\Rightarrow\dfrac{OH}{MB}=\dfrac{OA}{MN}$ mà $OA=OH$
   $\Rightarrow MB=MN\Rightarrow M$ là trung điểm của $BN$.

   

   Trả lời