Cho các số `x,y,z` thỏa mãn điều kiện: `x+y+z=0` CMR: `x^3 +y^3 +z^3 -3xyz=0`

2 bình luận về “Cho các số `x,y,z` thỏa mãn điều kiện: `x+y+z=0` CMR: `x^3 +y^3 +z^3 -3xyz=0`”

1. Xét: x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz

   = x^3 + 3x^{2} y + 3xy^{2} + y^3 + z^3 – 3x^{2}y -3xy^{2}- 3xyz

   = (x+y)^3 + z^3 – 3xy( x+y+z)

   = (x+y+ z)[(x+y)^{2}-(x+y).z + z^{2}] – 3xy.(x+y+z)

   = 0.[(x+y)^{2}-(x+y).z + z^{2}] – 3xy.0 (vì x+y+z=0)

   =0+0

   =0

   Vậy điều phải chứng minh

   Trả lời
2. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   Mình làm 2 cách để cậu tham khảo ạ

   C_1

    Có x+y+z=0

   ⇔ (x+y+z)³=0

   ⇔ x³+y³+z³+3x²y+3xy²+3x²z+3xz²+3y²z+3yz²+6xyz=0

   ⇔ x³+y³+z³+(3x²y+3xy²+3xyz)+(3x²z+3xz²+3xyz)+(3y²z+3yz²+3xyz)-3xyz=0

   ⇔ x³+y³+z³+3xy(x+y+z)+3xz(x+y+z)+3yz(x+y+z)-3xyz=0

   ⇔ x³+y³+z³+(x+y+z)(3xy+3xz+3yz)-3xyz=0

   Mà x+y+z=0

   ⇒ x³+y³+z³+0.(3xy+3xz+3yz)-3xyz=0

   ⇔ x³+y³+z³-3xyz=0 (đpcm)

    C_2

   Có x+y+z=0

   ⇒ x+y=-z

   ⇔ (x+y)³=(-z)³

   ⇔ x³+3x²y+3xy²+y³=-z³

   ⇔ x³+y³+z³=-3x²y-3xy²

   ⇔ x³+y³+z³=-3xy(x+y)

   Mà x+y=-z

   ⇒ x³+y³+z³=-3xy(-z)

   ⇔ x³+y³+z³=3xyz

   ⇔ x³+y³+z³-3xyz=0 ( đpcm)

   Trả lời