Cho ba số thực dương `x,y,z` thỏa mãn `x^2+y^2=z^2` tìm min của `A=(1+z/x)(1+z/y)`

2 bình luận về “Cho ba số thực dương `x,y,z` thỏa mãn `x^2+y^2=z^2` tìm min của `A=(1+z/x)(1+z/y)`”

1. $x^2+y^2=z^2\Leftrightarrow \left(\dfrac{x}{z}\right)^2+\left(\dfrac{y}{z}\right)^2=1$

   Đặt $\begin{cases} \dfrac{x}{z}=a\\\dfrac{y}{z}=b \end{cases}(a,b>0)$

   $\to$ $\begin{cases} a^2+b^2=1\\A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right) \end{cases}$

   Ta có: $A=1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{ab}$

   Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz và BĐT Cauchy ta được:

   $a^2+b^2\ge \dfrac{1}{2}(a+b)^2\to a+b\le \sqrt{2}$

   $A\ge 1+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2}\ge 1+\dfrac{4}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}$

   $\to A\ge 3+2\sqrt{2}$

   Dấu “$=$” xảy ra khi: $a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{z\sqrt{2}}{2}$

   Trả lời
2. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   Áp dụng vài BĐT quen thuộc:

   $ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} ≥ \dfrac{4}{x + y} (1)$

   $ x + y ≤ \sqrt{2(x² + y²)} = \sqrt{2z²} = z\sqrt{2} (2)$

   $ x² + y² ≥ 2xy ⇔ z² ≥ 2xy (3)$

   Ta có:

   $ A = (1 + \dfrac{z}{x})(1 + \dfrac{z}{x})$

   $ = 1 + z(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) + \dfrac{z²}{xy}$

   $ ≥ 1 + \dfrac{4z}{x + y} + \dfrac{z²}{xy}$(áp dụng (1))

   $ ≥ 1 + \dfrac{4z}{z\sqrt{2}} + \dfrac{2xy}{xy}$(áp dụng (2); (3))
   

   $ = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$

   $ ⇒ MinA = 3 + 2\sqrt{2} ⇔ x = y = \dfrac{z\sqrt{2}}{2}$

    

   Trả lời