Cho ΔABC vuông tại A có đường cao AH, trung tuyến AO. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB,AC. Chứng minh rằng 5 điểm

1 bình luận về “Cho ΔABC vuông tại A có đường cao AH, trung tuyến AO. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB,AC. Chứng minh rằng 5 điểm”

1. Gọi E là giao điểm

   Ta có ΔABC vuông tại A, trung tuyến AO

   ⇒ OA = BC/2 = OB

   ⇒ ΔABO cân tại O

   ⇒ Trung tuyến OM (Mlà trung điểm của  AB) đồng thời là đường cao

   ⇒ OMA = 90

   Chứng minh tương tự , ta có

   ONA = 90 

   Tứ giác AMON, có

   MAN = 90 (ΔABC vuông tại A)

   OMA = 90 (cmt)

   ONA = 90 (cmt)

   Suy ra Tứ giác AMON là hình chữ nhật

   Mà E là giao điểm của 2 đường chéo MN và AO

   ⇒ EN = EO = EM = EA

   ⇒ N, O, M, A cùng thuộc đường tròn tâm E (1)

   Ta có ΔHAO vuông tại H

   ⇒ ΔHAO nội tiếp đường tròn đường kính AO

   mà E là trung điểm của AO

   ⇒ ΔHAO nội tiếp đường tròn tâm E

   ⇒ H thuộc đường tròn tâm E (2)

   Từ (1) và (2) ⇒ A, M, H, N, O cùng thuộc đường tròn tâm E

   

   Trả lời