Cho `a,b` là hai số thực dương thoả mãn `a^2+b^2+c^2=3`. Tìm min `A=a/((b+c)^3)+b/((a+c)^3)+c/((a+b)^3)`

1 bình luận về “Cho `a,b` là hai số thực dương thoả mãn `a^2+b^2+c^2=3`. Tìm min `A=a/((b+c)^3)+b/((a+c)^3)+c/((a+b)^3)`”

1. Áp dụng BĐT Holder: (a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)>=(axm+byn+czp)^3 tta có:

   A.(a+b+c).(a+b+c)

   >= [ (\root{3}{a})/(b+c) .\root{3}{a} .\root{3}{a}+(\root{3}{b})/(a+c) .\root{3}{b} .\root{3}{b}+(\root{3}{c})/(a+b) .\root{3}{c} .\root{3}{c}]^3

   =(a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a))^3

   >= (3/2)^3 (BĐT Nesbitt)

   =27/8

   → A >= 27/(8(a+b+c)^2)

   Ta có: ab+bc+ca <= a^2+b^2+c^2 =3

             (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)<=3+2.3=9

   → A>= 27/(8.9)=3/8

   Dấu “=” xảy ra khi: a=b=c=1

    

   Trả lời