Bài 3. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P,

1 bình luận về “Bài 3. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P,”

1. $\text{a)}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{AB // CD (GT)}$

   $\text{mà M ∈ AB , P ∈ CD (GT)}$

   $\text{⇒ DP // BM}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{AB = CD (GT)}$

   $\text{mà CP = AM ( GT )}$

   $\text{⇒ MB = DP}$

   $\text{- Xét tứ giác MBPD có}$

   $\text{MB = DP (GT)}$

   $\text{MB // DP (GT)}$

   $\text{⇒ MBPD là hình bình hành ( cặp cạnh đối song song và bằng nhau ).}$

   $\text{⇒ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.}$

   $\text{mà O là trung điểm đường chéo của DB}$

   $\text{⇒ M, O, P thẳng hàng.}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{AD = BC (GT)}$

   $\text{mà QA = CN (GT)}$

   $\text{⇒ QD = BN }$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{AD // BC (GT)}$

   $\text{mà Q ∈ AD , N ∈ CB (GT)}$

   $\text{⇒ QD // BN}$

   $\text{- Xét tứ giác QBND có}$

   $\text{QD = BN (GT)}$

   $\text{QD // BN (GT)}$

   $\text{⇒ QBND là hình bình hành ( cặp cạnh đối song song và bằng nhau )}$

   $\text{⇒ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.}$

   $\text{mà O là trung điểm của đường chéo BD}$

   $\text{⇒ N, O, Q thẳng hàng}$

   $\text{→ Vậy M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng}$

   $\text{b)}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{QA = MA (GT)}$

   $\text{⇒ ΔAQM cân tại A}$

   $\text{⇒ }\widehat{AQM}\text{ = }\widehat{AMQ}$

   $\text{⇒ 2}\widehat{AQM}\text{ = }{180}^o\text{ – }\hat{A}\text{ ( 1 ) }$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{AD = AB (GT)}$

   $\text{⇒ ΔABD cân tại A}$

   $\text{⇒ 2}\widehat{ADB}\text{ = }\widehat{ABD}$

   $\text{⇒ 2}\widehat{ADB}\text{ = }{180}^o\text{ – }\hat{A}\text{ ( 2 )}$

   $\text{→ Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta suy ra :}$

   $\text{2}\widehat{AQM}\text{ = 2}\widehat{ADB}$

   $\text{⇔ }\widehat{AQM}\text{ = }\widehat{ADB}$

   $\text{⇒ QM // DB ( đồng vị ) ( * )}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{MN = NB (GT)}$

   $\text{⇒ ΔBMN cân tại B}$

   $\text{⇒ }\widehat{BMN}\text{ = }{\displaystyle \frac{{180}^o–\hat{B}}{2}}\text{ ( 3 )}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{AB = BC (GT)}$

   $\text{⇒ ΔABC cân tại B}$

   $\text{⇒ }\widehat{BAC}\text{ = }{\displaystyle \frac{{180}^o–\hat{B}}{2}}\text{ ( 4 )}$

   $\text{→ Từ ( 3 ) và ( 4 ) ta suy ra :}$

   $\widehat{BMN}\text{ = }\widehat{BAC}$

   $\text{⇒ MN // AC ( đồng vị ) ( ** )}$

   $\text{mà AC ⊥ BD ( Hai đường chéo của hình thoi ) ( *** )}$

   $\text{→ Từ (*) và (**) và (***) ta suy ra :}$

   $\text{QM ⊥ MN}$

   $\text{- Xét ΔAQM và ΔCNP có :}$

   $\text{AQ = CN (GT)}$

   $\hat{A}\text{ = }\hat{C}\text{ ( tính chất hình thoi )}$

   $\text{AM = CP (GT)}$

   $\text{⇒ ΔAQM = ΔCNP ( c . g . c )}$

   $\text{⇒ QM = NP}$

   $\text{- Xét ΔMBN và ΔPDQ có :}$

   $\text{DP = BN (GT)}$

   $\hat{D}\text{ = }\hat{B}\text{ ( tính chất hình thoi )}$

   $\text{DQ = BM (GT)}$

   $\text{⇒ ΔMBN = ΔPDQ ( c . g . c )}$

   $\text{⇒ QP = MN}$

   $\text{- Xét tứ giác MNPQ có :}$

   $\text{QM = PN (GT)}$

   $\text{MN = QP (GT)}$

   $\text{QM ⊥ MN (GT)}$

   $\text{⇒ MNPQ là hình chữ nhật ( hình bình hành có một góc}$

   $\text{vuông ). ( ĐPCM )}$

   5 sao nha

   

   Trả lời