Chứng minh luôn âm x-x^2-2 Chứng minh luôn dương 1/4x^2-x+5

2 bình luận về “Chứng minh luôn âm x-x^2-2 Chứng minh luôn dương 1/4x^2-x+5”

1. Đặt A = x – x^2 – 2

   = – ( x^2 – x + 2 )

   = – ( x^2 – 2 . x . 1/2 + 1/4 – 1/4 ) + 2

   = – (x – 1/2 )^2 + 1/4 + 2

   = – (x – 1/2 )^2  + 9/4

   Mà (x – 1/2 )^2  + 9/4 ≥ 9/4

   =>- (x – 1/2 )^2  + 9/4 ≤ – 9/4 <0

   Vậy giá trị của A luôn âm với mọi giá trị của x.

   ——————–

   Đặt A = 1/4x^2 – x + 5

   = [( 1/2x)^2 – 2 . 1/2x .1 + 1 – 1 ) ]+ 5

   = ( 1/2x – 1 )^2 – 1 + 5

   = ( 1/2x – 1 )^2 + 4

   => ( 1/2x – 1 )^2 + 4 ≥ 4 >0

   Vậy giá trị của A luôn dương với mọi giá trị của x.

   Trả lời
2. Chứng minh luôn âm x – x² – 2

   x – x² – 2

   = x – x² – $\frac{1}{4}$ – $\frac{7}{4}$ 

   = -(x² – x + $\frac{1}{4}$) – $\frac{7}{4}$ 

   = -(x² – 2.x.$\frac{1}{2}$ – $(\frac{1}{2})²$ – $\frac{7}{4}$ 

   = -(x – $\frac{1}{2}$)² – $\frac{7}{4}$ 

   Ta có: (x – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0

   ⇒ -(x – $\frac{1}{2}$)² ≤ 0

   ⇒ -(x – $\frac{1}{2}$)² – $\frac{7}{4}$  ≤ -$\frac{7}{4}$ 

   ⇒ x – x² – 2 ≤ -$\frac{7}{4}$ 

   ⇒ x – x² – 2 < 0

   Vì vậy: x – x² – 2 luôn âm

   Chứng minh luôn dương $\frac{1}{4}$ x² – x + 5

   $\frac{1}{4}$ x² – x + 5

   = $\frac{1}{4}$ x² – x + 5 

   = $\frac{1}{4}$ x² – x + 1 + 4

   = ($\frac{1}{4}$ x² – x + 1) + 4

   = [($\frac{1}{2}$ x)² – 2.$\frac{1}{2}$x.1 + 1²] + 4

   = ($\frac{1}{2}$ x – 1)² + 4

   Ta có: ($\frac{1}{2}$ x – 1)² ≥ 0

   ⇒ ($\frac{1}{2}$ x – 1)² + 4 ≥ 4

   ⇒ $\frac{1}{4}$ x² – x + 5 ≥ 4

   ⇒ $\frac{1}{4}$ x² – x + 5 > 0

   Vì vậy: $\frac{1}{4}$ x² – x + 5 luôn dương

   Trả lời