Cho $\int f(2x)dx$ = cos2x + sinx + 1. Tìm gía trị nhỏ nhất của $\int f(x)dx$

1 bình luận về “Cho $\int f(2x)dx$ = cos2x + sinx + 1. Tìm gía trị nhỏ nhất của $\int f(x)dx$”

1. Giải đáp:

   $-2.$

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   $$\begin{gathered} x=2t\Rightarrow dx=2dt \\ {\displaystyle \int f(x)dx} \\ =2{\displaystyle \int f(2t)dt} \\ =2{\displaystyle \int f(2x)dx} \\ =2(\cos 2x+\sin x+1) \\ =2(1-2{\sin }^{2}x+\sin x+1) \\ =2(-2{\sin }^{2}x+\sin x+2) \\ =-4{\sin }^{2}x+2\sin x+4(1) \\ v=\sin x,v\in [-1;1] \\ (1)\iff -4v^2+2v+4=h(v) \\ {h}^{\prime }(v)=-8v+2 \\ {h}^{\prime }(v)=0\Rightarrow v={\displaystyle \frac{1}{4}} \\ h(-1)=-2 \\ h\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)={\displaystyle \frac{17}{4}} \\ h(1)=2 \\ \Rightarrow \underset{h(v)}{min}=-2\Rightarrow \underset{\int f(x)dx}{min}=-2. \end{gathered}$$

   Trả lời