Đúng em cho câu trả lời hay nhất ạ ! ( 30 điểm ) Cho S = 1 ³+2 ³+3 ³+…+n ³ Chứng minh rằng S là số chính phương với n là số

1 bình luận về “Đúng em cho câu trả lời hay nhất ạ ! ( 30 điểm ) Cho S = 1 ³+2 ³+3 ³+…+n ³ Chứng minh rằng S là số chính phương với n là số”

1. Ta chứng minh: $S=(1+2+…+n)^2(*)$

   $\bullet$ Với $n=1,n=2\Rightarrow (*)$ đúng.

   $\bullet$ Giả sử $(*)$ đúng với $n=k(k\in N^*)$

   $\Rightarrow 1^3+2^3+…+k^3=(1+2+…+k)^2$

   $\bullet$ Ta chứng minh $(*)$ đúng tiếp với $n=k+1$

   Tức cần chứng minh:

   $1^3+2^3+…+k^3+(k+1)^3=(1+2+…+k+k+1)^2$

   Thật vậy vế trái:

   $=(1+2+…+k)^2+2(1+2+…+k)(k+1)+(k+1)^2\\=1^3+2^3+…+k^3+\left[2.\dfrac{k(k+1)}{2}(k+1)+k^2+2k+1\right]\\=1^3+2^3+…+k^3+(k+1)^3\text{(Điêu phải chứng minh.)}$

   Do đó $(*)$ đúng theo giả thiết quy nạp.

   $\Rightarrow S$ là số chính phương.

   Trả lời