a(a+1)(a+2) là số chính phương khi nào

1 bình luận về “a(a+1)(a+2) là số chính phương khi nào”

1. a\in ZZ

   Đặt $a(a+1)(a+2)=m^2$ (m\in ZZ)

   Nếu $a<-2\Rightarrow a(a+1)(a+2)<0\Leftrightarrow m^2<0$(Vô lí.)

   Nếu $a=-1\Rightarrow m=0$(T/m)

   Nếu $a=-2\Rightarrow m=0$(T/m)

   Nếu $a=0\Rightarrow m=0$(T/m)

   Nếu $a>0$

   TH1: $a$ lẻ thì $\text{gcd}(a;a+1)=\text{gcd}(a+1;a+2)=\text{gcd}(a;a+2)=1$

   Nên $a,a+1,a+2$ là số chính phương. (Vô lí)

   TH2: $a$ chẵn nên đặt $a=2k$(k\in NN^**)

   $\Rightarrow 4k(2k+1)(k+1)=m^2\Rightarrow m$ chẵn nên đặt $m=2t$(t\in NN^**)

   $\Rightarrow k(2k+1)(k+1)=t^2$

   Dễ thấy $\text{gcd}(k;2k+1)=\text{gcd}(2k+1;k+1)=\text{gcd}(k;k+1)=1$

   Nên $k,2k+1,k+1$ là số chính phương. (Vô lí)

   Trả lời