Cho (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca) Chứng minh rằng a=b=c Giup e vs các anh chị ơi!! =(

2 bình luận về “Cho (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca) Chứng minh rằng a=b=c Giup e vs các anh chị ơi!! =(”

1. Ta có :

   (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)

   => a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 3ab + 3bc + 3ca

   => a^2 + b^2 + c^2  + 2ab + 2bc + 2ac – 3ab – 3bc – 3ca = 0

   => a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ac = 0

   => 2. ( a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ac ) = 2 . 0

   => 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ac = 0

   => a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 – 2ab – 2bc – 2ac = 0

   => ( a^2 – 2ab + b^2 ) + ( b^2 – 2bc + c^2 ) + ( a^2 – 2ac + c^2 ) = 0

   => ( a – b )^2 + ( b-c)^2 + ( a – c )^2 = 0

   Ta có : $\begin{cases} (a-b)^2≥0\\(b-c)^2≥0\\(a-c)^2≥0 \end{cases}$

   Mà ( a – b )^2 + ( b-c)^2 + ( a – c )^2 = 0

   => $\begin{cases} a-b=0\\b-c=0\\a-c=0 \end{cases}$

   => $\begin{cases} a=b\\b=c\\a=c \end{cases}$

   => a = b = c

   Vậy a = b = c ( đpcm )

    

   Trả lời
2. $ (a+b+c)^{2}=3(ab+bc+ca)$

   $⇔a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca$

   $⇔a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$

   Nhân 2 vế cho 2:

   $2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0$

   $⇔(a^2-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})=0$

   $⇔(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$

   vì $(a-b)^{2}\geq 0$, $(b-c)^{2}\geq 0,$ $(c-a)^{2}\geq 0$

   nên để $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$

   thì $a=b=c$ (điều phải chứng minh)

   chúc bạn học tốt nha

   Trả lời