Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB AC. a) CM BC ²= 3AH ² + BE ² + CF ² b)

1 bình luận về “Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB AC. a) CM BC ²= 3AH ² + BE ² + CF ² b)”

1. Lời giải và giải thích chi tiết:

   a.Vì $HE\perp AB,HF\perp AC, AB\perp AC\to AEHF$ là hình chữ nhật

   $\to HE\perp HF, EF=AH$

   Ta có:

   $BC^2$

   $=AB^2+AC^2$

   $=(AH^2+HB^2)+(AH^2+HC^2)$

   $= 2AH^2+HB^2+HC^2$

   $=2AH^2+(BE^2+HE^2)+(HF^2+FC^2)$

   $=2AH^2+(HE^2+HF^2)+BE^2+CF^2$

   $=2AH^2+EF^2+BE^2+CF^2$

   $=2AH^2+AH^2+BE^2+CF^2$

   $=3AH^2+BE^2+CF^2$

   b.Ta có:

   $\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}$

   $\to (\dfrac{BA^2}{AC^2})^2=(\dfrac{BH}{CH})^2$

   $\to \dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}$

   $\to \dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BE\cdot BA}{CF\cdot CA}$

   $\to \dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BE}{CF}$

   c.Ta có:

   $AH^2=HB\cdot HC$

   $\to AH^4=HB^2\cdot HC^2$

   $\to AH^4=(BE\cdot BA)\cdot (CF\cdot CA)$

   $\to AH^4=(BE\cdot CF)\cdot (AB\cdot AC)$

   $\to AH^4=(BE\cdot CF)\cdot (HA\cdot BC)$

   $\to AH^3=BE\cdot CF\cdot BC$

   d.Ta có:

   $BE\cdot AC+CF\cdot AB$

   Vì $HE//AC(\perp AB), HF//AB(\perp AC)$

   $\to \dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BH}{BC}$

         $\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{CB}$

   $\to \dfrac{BE}{BA}+\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{BH+CH}{BC}=1$

   $\to BE\cdot CA+CF\cdot BA=AB\cdot AC$

   $\to BE\cdot CA+CF\cdot BA=AH\cdot BC$

   $\to BE\cdot \sqrt{AC^2}+CF\cdot \sqrt{AB^2}=AH\cdot \sqrt{BC^2}$

   $\to BE\cdot \sqrt{CH\cdot BC}+CF\cdot \sqrt{BH\cdot BC}=AH\cdot \sqrt{BC^2}$

   $\to BE\cdot\sqrt{CH}+CF\cdot \sqrt{BH}=AH\cdot \sqrt{BC}$

   

   Trả lời