Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD=a, M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng sinMDB=1/3. Tính độ dài của đoạn thẳng AB theo a

2 bình luận về “Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD=a, M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng sinMDB=1/3. Tính độ dài của đoạn thẳng AB theo a”

1. AB=a căn 2

   

   Trả lời
2. Giải đáp:

   AB=a\sqrt{2}

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   ABCD là hình chữ nhật => \hat{A}=90^0

   Đặt AB=2x (x>0)

   M là trung điểm của  AB => AM=BM=x

   Ta có: sin^2\hat{MDB}+\cos^2\hat{MDB}=1

   => (1/3 )^2 + cos^2\hat{MDB}=1

   => cos^2\hat{MDB}=8/9

   => cos\hat{MDB}\frac{2\sqrt{2}}{3} (vì \hat{MDB} nhọn)

   \hat{A}=90^0 => ΔADB vuông tại A

   => BD^2=AD^2+AB^2=a^2+4x^2

   \hat{A}=90^0 => ΔADM vuông tại A

   => DM^2=AD^2+AM^2=a^2+x^2

   Áp dụng định lý hàm số cosin cho ΔMDB ta có:

   $\begin{array}{l} \cos \widehat {MDB} = \dfrac{{D{M^2} + B{D^2} – M{B^2}}}{{2DM.BD}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{{a^2} + {x^2} + {a^2} + 4{x^2} – {x^2}}}{{2\sqrt {\left( {{a^2} + {x^2}} \right)\left( {{a^2} + 4{x^2}} \right)} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{2{a^2} + 4{x^2}}}{{2\sqrt {{a^4} + 4{a^2}{x^2} + {a^2}{x^2} + 4{x^4}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{{a^2} + 2{x^2}}}{{\sqrt {{a^4} + 5{a^2}{x^2} + 4{x^4}} }}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} + 6{x^2} = 2\sqrt 2 .\sqrt {{a^4} + 5{a^2}{x^2} + 4{x^4}} \\ \Leftrightarrow 9{a^4} + 36{a^2}{x^2} + 36{x^4} = 8{a^4} + 40{a^2}{x^2} + 32{x^4}\\ \Leftrightarrow {a^4} – 4{a^2}{x^2} + 4{x^4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} – 2{x^2}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} – 2{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} = {a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \end{array}$

   $ \Rightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ (vì x>0)

   => AB=2x=2.\frac{a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}

   

   Trả lời