Chứng minh biểu thức $4+7+4^2+7^2+…+4^{16}+7^{16}$ chia hết cho 10

1 bình luận về “Chứng minh biểu thức $4+7+4^2+7^2+…+4^{16}+7^{16}$ chia hết cho 10”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   +)Đặt $\begin{cases}B=4+4^2+…+4^{16}\\M=7+7^2+…+7^{16} \end{cases}$

   $⇔\begin{cases}4B=4^2+4^3+…+4^{17}\\7M=7^2+7^3+…+7^{17} \end{cases}$

   $⇔\begin{cases}4B-B=(4^2+4^3+…+4^{17})-(4+4^2+…+4^{16})\\7M-M=(7^2+7^3+…+7^{17})-(7+7^2+…+7^{16}) \end{cases}$

   $⇔\begin{cases}3B=(4^2+4^3+…+4^{16})+4^{17}-4-(4^2+4^3+…+4^{16})\\6M=(7^2+7^3+…+7^{16})+7^{17}-7-(7^2+7^3+…+7^{16}) \end{cases}$

   $⇔\begin{cases}3B=4^{17}-4\\6M=7^{17}-7 \end{cases}$

   $⇔\begin{cases}B=\dfrac{4^{17}-4}3\\M=\dfrac{7^{17}-7}6 \end{cases}$

   $⇒B+M=\dfrac{4^{17}-4}3+\dfrac{7^{17}-7}6$

   $⇔(4+4^2+…+4^{16})+(7+7^2+…+7^{16})=\dfrac{(4^{16}-1).4}3+\dfrac{(7^{16}-1).7}6$

   $⇔4+7+4^2+7^2+…+4^{16}+7^{16}=\dfrac{(4^{16}-1).4}3+\dfrac{(7^{16}-1).7}6$

   $B+M=\dfrac{(4-1)(4+1)(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1).4}3+\dfrac{(7-1)(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1).7}6$ 

   $B+M=(4+1)(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1).4+(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1).7$                                                  $=5(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1).4+(7+1).50(7^4+1)(7^8+1).7$

           $=20.(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1)+350.(7+1)(7^4+1)(7^8+1)$                                                        

           $=10.[2(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1)+35(7+1)(7^4+1)(7^8+1)]\vdots10\text{ (luôn đúng)}$

   Vậy biểu thức cho trước chia hết cho 10

   Trả lời