Chứng minh biểu thức $4+7+4^2+7^2+\dots +4^{16}+7^{16}$ chia hết cho 10

1 bình luận về “Chứng minh biểu thức $4+7+4^2+7^2+\dots +4^{16}+7^{16}$ chia hết cho 10”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   +)Đặt $\{\begin{array}{l}B=4+4^2+\dots +4^{16}\\ M=7+7^2+\dots +7^{16}\end{array}$

   $\iff \{\begin{array}{l}4B=4^2+4^3+\dots +4^{17}\\ 7M=7^2+7^3+\dots +7^{17}\end{array}$

   $\iff \{\begin{array}{l}4B-B=(4^2+4^3+\dots +4^{17})-(4+4^2+\dots +4^{16})\\ 7M-M=(7^2+7^3+\dots +7^{17})-(7+7^2+\dots +7^{16})\end{array}$

   $\iff \{\begin{array}{l}3B=(4^2+4^3+\dots +4^{16})+4^{17}-4-(4^2+4^3+\dots +4^{16})\\ 6M=(7^2+7^3+\dots +7^{16})+7^{17}-7-(7^2+7^3+\dots +7^{16})\end{array}$

   $\iff \{\begin{array}{l}3B=4^{17}-4\\ 6M=7^{17}-7\end{array}$

   $\iff \{\begin{array}{l}B={\displaystyle \frac{4^{17}-4}{3}}\\ M={\displaystyle \frac{7^{17}-7}{6}}\end{array}$

   $\Rightarrow B+M={\displaystyle \frac{4^{17}-4}{3}}+{\displaystyle \frac{7^{17}-7}{6}}$

   $\iff (4+4^2+\dots +4^{16})+(7+7^2+\dots +7^{16})={\displaystyle \frac{(4^{16}-1).4}{3}}+{\displaystyle \frac{(7^{16}-1).7}{6}}$

   $\iff 4+7+4^2+7^2+\dots +4^{16}+7^{16}={\displaystyle \frac{(4^{16}-1).4}{3}}+{\displaystyle \frac{(7^{16}-1).7}{6}}$

   $B+M={\displaystyle \frac{(4-1)(4+1)(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1).4}{3}}+{\displaystyle \frac{(7-1)(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1).7}{6}}$ 

   $B+M=(4+1)(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1).4+(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1).7$                                                  $=5(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1).4+(7+1).50(7^4+1)(7^8+1).7$

           $=20.(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1)+350.(7+1)(7^4+1)(7^8+1)$                                                        

           $=10.[2(4^2+1)(4^4+1)(4^8+1)+35(7+1)(7^4+1)(7^8+1)]⋮10\text{ (luôn đúng)}$

   Vậy biểu thức cho trước chia hết cho 10

   Trả lời