Cho dãy số `(u_n)` xác định bởi: $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=2u_n+1,n\ge 1\end{array}$ Tính tổng `n` số hạng đầu tiên

1 bình luận về “Cho dãy số `(u_n)` xác định bởi: $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=2u_n+1,n\ge 1\end{array}$ Tính tổng `n` số hạng đầu tiên”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Từ HTTH ta có:

   u_{n+1} = 2u_n + 1

   => u_{n+1} + 1 = 2(u_n + 1)

   Từ đó ta được 

   u_n + 1 = 2(u_{n-1} + 1) = … = 2^{n-1}(u_1 + 1) = 2^n

   => u_n = 2^n – 1

   Tổng n số hạng đầu tiên là(Gọi tổng đó là S)

   Khi đó S = u_1 + u_2 + .. + u_n

   = 2^1 + 2^2 + … + 2^n – n

   Dễ dàng chứng minh được theo qui nạp 

   2^1 + 2^2 + … + 2^n = 2^{n+1} – 2

   Từ đó ta suy ra S = 2^{n+1} – n – 2

   Vậy tổng cần tìm là S = 2^{n+1} – n – 2

   Trả lời