PT `x^2cosx+xsin^5x+1=0` có bao nhiêu nghiệm trên `RR`

2 bình luận về “PT `x^2cosx+xsin^5x+1=0` có bao nhiêu nghiệm trên `RR`”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Đặt f(x) = x^2cosx + xsin^5x + 1

   Dễ thấy f(x) liên tục trên RR

   Với x = 2k\pi (k \in ZZ) ta có:

   f(k\pi) = (k.\pi)^2 + 1 ~~ 1 + (k . 3,14)^2 > 0

   Với x = (2k+1)\pi(k \in ZZ) ta có:

   f((k+1)\pi) = -[(k+1)\pi]^2 + 1 ~~ 1 -[(k+1).3,14]^2 < 0

   Do f(2k\pi) . f((2k+1)\pi) < 0 nên tồn tại ít nhất 1 số thực a \in {k\pi|k \in ZZ} \cup {(k+1)\pi|k\inZZ} = RR sao cho f(a) = 0

   Từ đó suy ra phương trình có vô hạn nghiệm trên RR

   Trả lời
2. Giải đáp:

   Phương trình có vô số nghiệm.

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   $$\begin{gathered} x^2\cos x+x{\sin }^{5}x+1=0 \\ D=\mathbb{R} \\ f(k\pi )=(k\pi {)}^2\cos (k\pi )+(k\pi ).{\sin }^5(k\pi )+1 \\ =(k\pi {)}^2\cos (k\pi )+1 \\ f((k+1)\pi )=((k+1)\pi {)}^2\cos ((k+1)\pi )+((k+1)\pi ).{\sin }^5((k+1)\pi )+1 \\ =((k+1)\pi {)}^2\cos (k\pi )+1 \end{gathered}$$

   $⊛k$ chẵn

   $$\begin{gathered} f(k\pi )=(k\pi {)}^2+1>0 \\ f((k+1)\pi )=-((k+1)\pi {)}^2+1<0 \end{gathered}$$

   Hàm số liên tục trên $[\pi ;(k+1)\pi ],f(k\pi ).f((k+1)\pi )<0$

   $\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất một số $x_0\in (k\pi ;(k+1)\pi )$ sao cho $f(x_0)=0$ với $k$ chẵn $(1)$

   $⊛k$ lẻ

   $f(k\pi )=-(k\pi {)}^2+1<0$

   $f((k+1)\pi )=((k+1)\pi {)}^2+1>0$

   Hàm số liên tục trên $[\pi ;(k+1)\pi ],f(k\pi ).f((k+1)\pi )<0$

   $\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất một số $x_0\in (k\pi ;(k+1)\pi )$ sao cho $f(x_0)=0$ với $k$ lẻ $(2)$

   $(1)(2)\Rightarrow$ Luôn tồn tại ít nhất một nghiệm $x_0\in (k\pi ;(k+1)\pi )$ sao cho $f(x_0)=0$ với $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z}$

   Mà có vô số khoảng $(k\pi ;(k+1)\pi ),k\in \mathbb{Z}$ nên phương trình có vô số nghiệm trên $\mathbb{R}.$

   Trả lời