Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi H là điểm cố định trên đoạn OB (H khác O, B). Dựng đường thẳng d qua H vuông góc với A

1 bình luận về “Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi H là điểm cố định trên đoạn OB (H khác O, B). Dựng đường thẳng d qua H vuông góc với A”

1. Giải đáp:Lời giải và giải thích chi tiết:

   1) Ta có $\angle BDE = \angle BDC = \angle BAC$ (do $ABCD$ là tứ giác nội tiếp) và $\angle BHE = 90^\circ – \angle HBA = \angle BAC$. Vậy tứ giác $BDEH$ là nội tiếp.

   2) Ta có $HE.HC = (HD-HC)(HD+HB) = HD^2 – HC.HD + HD.HB – HC.HB = HD^2 – HC.HB = HA.HB$, vì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

   3) Gọi $J$ là giao điểm thứ hai của đường tròn $(O)$ và $AC$. Khi đó, ta có $\angle JDC = \angle JBC = \angle JBA + \angle ABC = \angle JHA + \angle ABC = \angle JHC + \angle ABC$, vì $ABCH$ là tứ giác nội tiếp.

   Vậy tứ giác $JDCB$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, $\angle DJC = \angle DBC = \angle DAC = \angle DIE$, suy ra $JIDE$ là tứ giác nội tiếp. Vậy $I$ nằm trên đường tròn $(O)$.

   Từ $HE.HC = HA.HB$ và $JA.JC = JH.JB$ (do $ABCH$ là tứ giác nội tiếp), ta có:

   $$\frac{HA}{JC} = \frac{HE}{JH}\cdot \frac{JB}{JC} = \frac{HE}{HC}\cdot \frac{JB}{JA}$$

   Đồng thời, vì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên $\frac{JB}{JA} = \frac{DB}{DA} = \frac{CB}{CA}$. Suy ra:

   $$\frac{HA}{JC} = \frac{HE}{HC}\cdot \frac{CB}{CA}$$

   Mà tứ giác $JIDE$ nội tiếp nên theo định lí Ptolemy:

   $$DJ\cdot EI = JD\cdot IE + JE\cdot ID = JC\cdot JI + JA\cdot JI = JI\cdot (JC + JA)$$

   Do đó

   $$\frac{JA}{JC} = \frac{EI}{DI} = \frac{HE}{HD}$$

   Kết hợp với đẳng thức trên, suy ra:

   $$HI^2 = HJ\cdot HA$$

   Như vậy, đường tròn $(HIJ)$ tiếp xúc với $HA$ tại $H$. Do đó $HID$ là tam giác cân tại $H$, suy ra $DA$ là tia phân giác của $\angle HDI$. Vậy điều cần chứng minh đã được chứng minh.

    #focissus

   Trả lời