Cho $\int\limits f(2x) \, dx$ = cos2x + sinx + 1. Tìm gía trị nhỏ nhất của $\int\limits {f(x)} \, dx$

1 bình luận về “Cho $\int\limits f(2x) \, dx$ = cos2x + sinx + 1. Tìm gía trị nhỏ nhất của $\int\limits {f(x)} \, dx$”

1. Giải đáp:

   $-2.$

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   $x=2t \Rightarrow dx=2 dt\\ \displaystyle\int f(x) \, dx\\ =2\displaystyle\int f(2t) \, dt\\ =2\displaystyle\int f(2x) \, dx\\ =2(\cos 2x+\sin x+1)\\ =2(1-2\sin^2x+\sin x+1)\\ =2(-2\sin^2x+\sin x+2)\\ =-4\sin^2x+2\sin x+4 (1)\\ v=\sin x, v \in [-1;1]\\ (1) \Leftrightarrow -4v^2+2v+4=h(v)\\ h'(v)=-8v+2\\ h'(v)=0 \Rightarrow v=\dfrac{1}{4} \\ h(-1)=-2\\ h\left(\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{17}{4}\\ h(1)=2\\ \Rightarrow \min_{h(v)}=-2 \Rightarrow \min_{\int f(x) \, dx}=-2.$

   Trả lời