Cho mặt cầu (S):x2+y2+z22x+6y+4z=0. Biết OA, (O là gốc tọa độ) là đường kính của mặt cầu (S). Tìm tọa độ điểm A? A. A(1;3;2)

2 bình luận về “Cho mặt cầu (S):x2+y2+z22x+6y+4z=0. Biết OA, (O là gốc tọa độ) là đường kính của mặt cầu (S). Tìm tọa độ điểm A? A. A(1;3;2)”

1. Để tìm tọa độ điểm A, thì chúng ta cần tìm đường kính của mặt cầu (S).

   Vì OA là đường kính của mặt cầu (S), ta cần tính độ dài của vectơ OA để tìm đường kính.

   Ta biết rằng gốc tọa độ O có tọa độ là (0, 0, 0), vì vậy vectơ OA sẽ có các thành phần là (x, y, z)

   Vì OA là đường kính của mặt cầu (S), nên vectơ OA sẽ nằm trên mặt cầu đó, tức là đã thỏa mãn phương trình của mặt cầu nên ta có

   — x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 6y + 4z = 0

   Vectơ OA có các thành phần là (x, y, z) vào phương trình trên, ta được:

   — x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 6y + 4z = x^2 + y^2 + z^2

   — 2x + 6y + 4z = 0

   — x + 3y + 2z = 0

   Vì vectơ OA nằm trên đường thẳng nối gốc O và điểm A, nên vectơ OA sẽ có hướng chung với vectơ (1, 3, 2) để tạo thành một đường thẳng.

   Từ đó ta giải hệ phương trình:

   x + 3y + 2z = 0

   x = t

   y = 3t

   z = 2t

   Với t là tham số bất kỳ.

   Từ đó, vectơ OA có dạng:

   OA = t ( 1, 3, 2 )

   Độ dài của vectơ OA là chiều dài của đường kính của mặt cầu (S), nên ta có

   |OA| = √(x^2 + y^2 + z^2) = √(1 + 9 + 4)t = √14t

   Vì OA là đường kính của mặt cầu (S), nên độ dài của OA bằng bán kính của mặt cầu (S), vậy:

   R = | OA | / 2 = √14t / 2

   Để R là một số dương, ta chọn t > 0. Vì vậy ta có

   R = √14t / 2 = t√14 / 2

   Thay R vào phương trình của mặt cầu (S), ta được:

   — x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 6y + 4z = 0

   — t^2 + 9t^2 + 4t^2 + 2t + 18t + 8t = 0

   — 14t^2 + 28t = 0

   — t( 7t + 14 ) = 0

   => t = 0 hoặc t = -2 ( không thỏa mãn t > 0 )

   Vì vậy, t = 0 không phù hợp, ta chọn t = 7 sau khi điều chỉnh dấu.

   Khi đó, vectơ OA có tọa độ (x, y, z) là:

   — OA = t( 1, 3, 2 ) = 7( 1, 3, 2 ) = ( 7, 21, 14 )

   Vậy tọa độ của điểm A là (1, 3, 2), đáp án là A.

   @Lee

   Trả lời
2. Để tìm tọa độ điểm A, thì chúng ta cần tìm đường kính của mặt cầu (S).

   Vì OA là đường kính của mặt cầu (S), ta cần tính độ dài của vectơ OA để tìm đường kính.

   Ta biết rằng gốc tọa độ O có tọa độ là (0, 0, 0), vì vậy vectơ OA sẽ có các thành phần là (x, y, z)

   Vì OA là đường kính của mặt cầu (S), nên vectơ OA sẽ nằm trên mặt cầu đó, tức là đã thỏa mãn phương trình của mặt cầu nên ta có

   — x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 6y + 4z = 0

   Vectơ OA có các thành phần là (x, y, z) vào phương trình trên, ta được:

   — x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 6y + 4z = x^2 + y^2 + z^2

   — 2x + 6y + 4z = 0

   — x + 3y + 2z = 0

   Vì vectơ OA nằm trên đường thẳng nối gốc O và điểm A, nên vectơ OA sẽ có hướng chung với vectơ (1, 3, 2) để tạo thành một đường thẳng.

   Từ đó ta giải hệ phương trình:

   x + 3y + 2z = 0

   x = t

   y = 3t

   z = 2t

   Với t là tham số bất kỳ.

   Từ đó, vectơ OA có dạng:

   OA = t ( 1, 3, 2 )

   Độ dài của vectơ OA là chiều dài của đường kính của mặt cầu (S), nên ta có

   |OA| = √(x^2 + y^2 + z^2) = √(1 + 9 + 4)t = √14t

   Vì OA là đường kính của mặt cầu (S), nên độ dài của OA bằng bán kính của mặt cầu (S), vậy:

   R = | OA | / 2 = √14t / 2

   Để R là một số dương, ta chọn t > 0. Vì vậy ta có

   R = √14t / 2 = t√14 / 2

   Thay R vào phương trình của mặt cầu (S), ta được:

   — x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 6y + 4z = 0

   — t^2 + 9t^2 + 4t^2 + 2t + 18t + 8t = 0

   — 14t^2 + 28t = 0

   — t( 7t + 14 ) = 0

   => t = 0 hoặc t = -2 ( không thỏa mãn t > 0 )

   Vì vậy, t = 0 không phù hợp, ta chọn t = 7 sau khi điều chỉnh dấu.

   Khi đó, vectơ OA có tọa độ (x, y, z) là:

   — OA = t( 1, 3, 2 ) = 7( 1, 3, 2 ) = ( 7, 21, 14 )

   Vậy tọa độ của điểm A là (1, 3, 2), đáp án là A.

    

   Trả lời