so sánh log cơ số 2022 của 2023 và log cơ số 2023 của 2024. (Giúp em với ạ)

1 bình luận về “so sánh log cơ số 2022 của 2023 và log cơ số 2023 của 2024. (Giúp em với ạ)”

1. Ta cần chứng minh:

   ${\log }_n(n+1)>{\log }_{n+1}(n+2),\mathrm{\forall }n>1$

   Ta có:

   ${\displaystyle \frac{n+1}{n}}=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}>1+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}={\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}$

   Do đó:

   ${\log }_n\left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)>{\log }_n\left({\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}\right)(1)$

   Mặt khác:

   Đặt ${\log }_{a}n=Y;{\log }_{a+1}n=X$

   Khi đó: $a^Y=(a+1{)}^X$

   $\Rightarrow Y>X$

   Hay ${\log }_{a}n>{\log }_{a+1}n$

   Ta được:

   ${\log }_n\left({\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}\right)>{\log }_{n+1}\left({\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}\right)(2)$

   Từ $(1),(2)$ ta được:

   ${\log }_n\left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)>{\log }_{n+1}\left({\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}\right)$

   $\iff {\log }_n(n+1)–{\log }_{n}n>{\log }_{n+1}(n+2)–{\log }_{n+1}(n+1)$

   $\iff {\log }_n(n+1)>{\log }_{n+1}(n+2)$

   Áp dụng với $n=2022$ ta được:

   ${\log }_{2022}2023>{\log }_{2023}2024$

   Trả lời